zum Directory-modus

Eigenwerte einer Matrix

Beispiel: Zwei verschiedene Eigenwerte einer diagonalen 2 × 2 -Matrix

Eigenwertproblem der Matrix

A = 5 0 0 3 .

Charakteristisches Polynom:

5 - λ 0 0 3 - λ = ( 5 - λ ) ( 3 - λ ) = λ 2 - 8 λ + 15 .

Das charakteristische Polynom ist im mittleren Ausdruck bereits in Linearfaktoren zerlegt und wir können die Nullstellen sofort ablesen: λ 1 = 5 und λ 2 = 3 . Beide sind einfach. A hat also zwei Eigenwerte, 5 und 3 . Beide haben die algebraische Vielfachheit eins. Eigenvektoren zu λ 1 = 5 : Das Gleichungssystem lautet

0 x 1 + 0 x 2 = 0 0 x 1 + -2 x 2 = 0 ,

also ist x 1 beliebig und x 2 = 0 . Lösung sind demnach alle Vektoren der Form

x = x 1 0 .

Diese Vektoren bilden also den Eigenraum D 5 zum Eigenwert 5 . Da D 5 ganz offensichtlich eindimensional ist, hat 5 die geometrische Vielfachheit eins. Eine Basis in D 5 wäre z.B. der Vektor

1 0 .

Die Berechnung der Eigenvektoren zum anderen Eigenwert, λ 2 = 3 , ist ganz analog und gibt als Resultat den von

0 1 .

aufgespannten Raum (d.h. den Raum, der durch obigen Vektor als Basis charakterisiert ist) als Eigenraum. Auch D 3 ist eindimensional, also hat auch der Eigenwert 3 die geometrische Vielfachheit 1 . In diesem Beispiel stimmen also algebraische und geometrische Vielfachheit für beide Eigenwerte überein. Es fällt auf, dass die Eigenwerte genau die Diagonalelemente der Matrix sind. Das ist kein Zufall: A ist der Prototyp für einen bestimmten Spezialfall: das Eigenwertproblem einer Diagonalmatrix. In diesem Spezialfall sind die Eigenwerte immer mit den Diagonalelementen identisch, wie man sich leicht klar macht.

Abb.1
Zu Beispiel 2. Dargestellt sind die beiden Eigenvektoren. Die Eigenräume sind die x 1 - bzw. x 2 -Achse.

Dieses Eigenwertproblem lässt sich mit folgendem Applet veranschaulichen. Durch Drehung des Vektors x erkennt man die Richtungen, in denen A x zu x kollinear sind. Es existieren zwei solche Richtungen, nämlich die x 1 - bzw. x 2 -Achsen.

Abb.2
Eigenwertproblem der 2 × 2 reellen Matrix
Seite 4 von 11