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Eigenwerte einer Matrix

Beispiel: Zwei identische Eigenwerte einer 2 × 2 -Matrix

Eigenwertproblem der Matrix

A = 3 1 -1 1 .

Charakteristisches Polynom:

3 - λ 1 -1 1 - λ = ( 3 - λ ) ( 1 - λ ) + 1 = λ 2 -4 λ + 4 .

Nullstellen:

λ 0 ± = 2 ± ( 4 - 4 ) 1 / 2 = 2 .

A hat demnach nur einen Eigenwert, nämlich λ = 2 . Seine algebraische Vielfachheit ist zwei, da er eine zweifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist (was man daraus entnimmt, dass die beiden Lösungen der „ p - q -Formel” gleich sind). Eigenvektoren zum (einzigen) Eigenwert 2 :

x 1 + x 2 = 0 - x 1 - x 2 = 0

Die beiden Gleichungen sind linear abhängig, wir brauchen also nur eine zu betrachten. Die Lösungsmenge D 2 besteht aus allen Vektoren

x = x 1 x 2 mit x 1 = - x 2

und ist mit dem Eigenraum zum betrachteten Eigenwert identisch. D 2 hat offensichtlich die Dimension eins, also ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts gleich eins. (Wir haben hier also gleich ein Beispiel dafür, dass algebraische und geometrische Vielfachheit nicht übereinstimmen müssen.) Wir können D 2 auch durch eine Basis charakterisieren, wozu in diesem Fall (eindimensionaler Raum) jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor aus D 2 taugt, z.B.

1 -1 ,

oder, wenn wir es normiert haben wollen,

1 2 1 -1 .

In (Abb. 1) ist dies graphisch veranschaulicht.

Abb.1
Zu Beispiel 1. Dargestellt ist ein Eigenvektor und der (eindimensionale) Eigenraum.

Dieses Eigenwertproblem lässt sich mit folgendem Applet veranschaulichen. Durch Drehung des Vektors x erkennt man die Richtungen, in denen A x zu x kollinear sind (durch die gestrichelte Linie markiert). Es existiert nur eine solche Richtung, da der Eigenraum eindimensional ist.

Abb.2
Zwei identische Eigenwerte einer 2 × 2 -Matrix
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