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Eigenwerte einer Matrix

Das charakteristische Polynom

Sowohl in theoretischer wie auch in praktischer Hinsicht spielt das so genannte charakteristische Polynom eine wichtige Rolle. Stellen wir uns die Aufgabe, die Eigenwerte und -vektoren einer gegebenen n × n -Matrix

A = a 11 a 1 n a n 1 a n n

zu berechnen. Diese Aufgabenstellung wird auch als Eigenwertproblem von A bezeichnet. Denken wir uns A zunächst reell. Es geht offenbar darum, Zahlen λ so zu bestimmen, dass es einen Vektor x gibt, der nicht der Nullvektor ist und die auch als Eigenwertgleichung bezeichnete Formel

A x = λ x

erfüllt. lässt sich zu

( A - λ E ) x = 0

umformen, wie durch eigene Rechnung leicht zu überprüfen ist. E bezeichnet die n × n -Einheitsmatrix. Dies ist offenbar ein homogenes lineares Gleichungssystem für die Komponenten x 1 , , x n von x . Wir sehen das deutlicher, wenn wir statt schreiben:

a 11 - λ a 1 n a n 1 a n n - λ x 1 x n = 0 0 ,

oder noch deutlicher:

( a 11 - λ ) x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + ( a 22 - λ ) x 2 + + a 2 n x n = 0 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + + ( a n n - λ ) x n = 0 .

Bekanntlich hat ein solches Gleichungssystem dann nicht triviale Lösungen, also Lösungen außer x 1 = x 2 = = x n = 0 , wenn die Koeffizientenmatrix, hier also A - λ E , die Determinante 0 hat (siehe Link). Daraus lässt sich eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ableiten, dass eine gegebene Zahl λ Eigenwert von A ist, nämlich

det ( A - λ E ) = 0 ,

oder, ausgeschrieben:

a 11 - λ a 12 a 1 n a 21 a 22 - λ a 2 n a n 1 a n 2 a n n - λ = 0 .
Hinweis
Der Gedankengang noch einmal in einer präziseren, aber auch umständlicheren Formulierung. Es ist sinnvoll, in λ nicht von vornherein einen Eigenwert zu sehen, sondern eine Variable, die alle Werte aus annehmen kann. Unter diesen sind jene gesucht, die folgende Bedingung erfüllen: Es gibt einen Nicht-Nullvektor x mit der Eigenschaft . Das sind nämlich genau die Eigenwerte von A . Die genannte Bedingung ist äquivalent dazu, dass das lineare Gleichungssystem nicht triviale Lösungen besitzt, was wiederum äquivalent ist dazu, dass die Determinante auf der linken Seite von verschwindet.

Rufen wir uns die Definition des Determinantenbegriffs in Erinnerung, so erkennen wir, dass die linke Seite von ein Polynom

P ( λ ) = A n λ n + A n -1 λ n -1 + + A 0 λ 0

in λ ist. Es heißt charakteristisches Polynom, charakteristische Gleichung oder Säkulargleichung von A . Seine Nullstellen sind offenbar genau die Eigenwerte von A . Damit haben wir die Aufgabe der Berechnung der Eigenwerte auf die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms zurückgeführt und damit mehr oder weniger gelöst. Bleiben noch die Eigenvektoren. Hat man erst einmal die Eigenwerte bestimmt, stellen diese jedoch kein Problem mehr dar: Wir setzen einfach den betreffenden Eigenwert in das Gleichungssystem ein und lösen dieses nach einem der üblichen Verfahren.

Obiges Schema zur Lösung des Eigenwertproblems ist im Prinzip immer anwendbar, von Hand aber nur für kleine Dimensionen n der Matrix (bis etwa 3 ) wirklich praktisch durchführbar. Es müssen die Nullstellen eines Polynoms n -ten Grades ermittelt und i. Allg. mehrere Gleichungssysteme mit n Unbekannten gelöst werden - von Hand bei großem n schwierig. Es gibt aber effektive Computeralgorithmen, die uns die Arbeit abnehmen und zumindest numerische Ergebnisse liefern können, auch wenn n sehr groß ist.

Ein paar zusätzliche Bemerkungen. Die Vielfachheit einer Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms heißt algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ . Algebraische Entartung ist analog geometrischer Entartung definiert (Vielfachheit > 0 ). Geometrische und algebraische Vielfachheit sind i. Allg. nicht identisch. Es gilt stets

geometrische Vielfachheit algebraische Vielfachheit

(desselben Eigenwerts, versteht sich). Die Gleichheit besteht aber in vielen wichtigen Spezialfällen, auf die wir noch zu sprechen kommen.

Zum Schluss noch eine das Praktische betreffende Frage: Wie gibt man die Eigenvektoren zu einem gegebenen Eigenwert λ an? Auf jeden Fall nicht alle einzeln, denn das wären (auch bei einem nicht entarteten Eigenwert) unendlich viele. Denken wir daran, dass die Eigenvektoren (zusammen mit dem Nullvektor) einen Unterraum, den Eigenraum D λ , bilden, fällt uns sofort eine Möglichkeit ein: die Angabe einer Basis, also d linear unabhängiger Eigenvektoren, in D λ , wobei d die geometrische Vielfachheit von λ bezeichnet. Üblicherweise wählt man die Basisvektoren normiert und paarweise orthogonal, gibt also eine Orthonormalbasis an.

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