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Eigenwerte einer Matrix - Einführende Beispiele

Beispiel 3: Drehung mit beliebigem Winkel um die x -Achse im Raum

Als letztes einführendes Beispiel betrachten wir die Drehung um die x -Achse im x , y , z -Koordinatensystem mit einem beliebigen Winkel φ . Natürlich muss i wieder ein Eigenvektor sein. Weitere Eigenvektoren sind allerdings nicht denkbar, da jeder Vektor a , der senkrecht zu i steht, durch eine x -Drehung mit dem Winkel φ 180 in eine neue Achsenlage überführt wird.

Es stellt sich also die Frage, welches Resultat die analytische Lösung der Eigenwertgleichung in diesem Fall ergibt. Zur Beantwortung führen wir wieder die Schritte 1 - 3 wie in den Beispielen 1, 2 durch.

1. Schritt

Die Eigenwertgleichung nimmt mit der allgemeinen Rotationsmatrix R ( φ ) folgende Form an:

1 0 0 0 cos ( φ ) - sin ( φ ) 0 sin ( φ ) cos ( φ ) x y z = λ x y z = λ x λ y λ z .

Homogenes Gleichungssystem:

(1) ( 1 - λ ) x + 0 y + 0 z = 0 (2) 0 x + ( cos ( φ ) - λ ) y - sin ( φ ) z = 0 (3) 0 x + sin ( φ ) y + ( cos ( φ ) - λ ) z = 0 .

2. Schritt

Charakteristisches Polynom P der Matrix:

1 - λ 0 0 0 cos ( φ ) - λ - sin ( φ ) 0 sin ( φ ) cos ( φ ) - λ = ( 1 - λ ) ( cos ( φ ) - λ ) 2 + sin ( φ ) 2 = P ( λ )

Die drei Nullstellen sind: λ 1 = +1 , λ 2 = cos ( φ ) + i sin ( φ ) , λ 3 = cos ( φ ) - i sin ( φ ) . Anders als in den Beispielen 1 und 2 treten hier komplexe Eigenwerte auf!

3. Schritt

Einsetzen der beiden Eigenwerte in das Gleichungssystem ergibt die Bestimmungsgleichungen für die beiden Eigenvektoren:

λ 1 = +1 (1) ( 1 - λ ) x = 0 (2) ( -1 - λ ) y = 0 (3) ( -1 - λ ) z = 0 also 0 x = 0 -2 y = 0 -2 z = 0 also x beliebig y = 0 z = 0 .

Normierung ergibt wie erwartet den Eigenvektor i .

Für die beiden komplexen Eigenwerte resultieren komplexe Eigenvektoren. Sie sind die formal-analytische Lösung des linearen Gleichungssystems, besitzen aber keine geometrische Bedeutung bei der x -Drehung im x , y , z -Koordinatensystem. Für die komplexen Eigenwerte existieren also keine reellen Eigenvektoren im 3D-Raum. Dies entspricht unserer obigen, durch Anschauung gewonnenen Aussage, dass kein Eigenvektor außer i für R ( φ ) mit φ 180 existiert!

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