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Eigenwerte einer Matrix - Einführende Beispiele

Beispiel 2: 180-Grad-Drehung um die $x$ -Achse im Raum

Auch hier muss natürlich $i$ als Eigenvektor resultieren. Mit den Ergebnissen von Beispiel 1 wissen wir aber ebenso, dass jeder Ortsvektor $s$ , der senkrecht zur Drehachse steht (also in der $z y$ -Ebene liegt), durch die $180^{\circ}$ -Drehung in die entgegengesetzte Richtung gedreht wird, also $R (180^{\circ}) s = (- 1) s$ gilt. Es stellt sich die Frage, was die analytische Lösung der Eigenwertgleichung in diesem Fall ergibt. Zur Beantwortung führen wir die Schritte 1 - 3 wie im Beispiel 1 durch.

1. Schritt

Die Rotationsmatrix $R (180^{\circ})$ überführt $x$ in $x$ , $y$ in $- y$ und $z$ in $- z$ . Die Eigenwertgleichung lautet demnach:

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}) (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) = λ (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{rcl} λ x \\ λ y \\ λ z \end{array}) .

Homogenes Gleichungssystem:

\begin{array}{cccccccc} (1) & (1 - λ) x & + & 0 y & + & 0 z & = & 0 \\ (2) & 0 x & + & (-1 - λ) y & + & 0 z & = & 0 \\ (3) & 0 x & + & 0 y & + & (-1 - λ) z & = & 0 \end{array} .

2. Schritt

Charakteristisches Polynom $P$ der Matrix:

|\begin{array}{ccc} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & -1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & -1 - λ \end{array}| = (1 - λ) (-1 - λ)^{2} = P (λ) .

Die drei Nullstellen sind: $λ_{1} = +1$ , $λ_{2} = λ_{3} = -1$ .

3. Schritt

Einsetzen der beiden Eigenwerte in das Gleichungssystem ergibt die Bestimmungsgleichungen für die beiden Eigenvektoren:

λ_{1} = +1 \begin{array}{cccc} (1) & (1 - λ_{1}) x & = & 0 \\ (2) & (-1 - λ_{1}) y & = & 0 \\ (3) & (-1 - λ_{1}) z & = & 0 \end{array} also \begin{array}{ccc} 0 x & = & 0 \\ -2 y & = & 0 \\ -2 z & = & 0 \end{array} also \begin{array}{ll} x beliebig \\ y = 0 \\ z = 0 \end{array} .

Normierung ergibt wie erwartet den Eigenvektor $v_{1} = i$ .

λ_{2} = λ_{3} = -1 \begin{array}{cccc} (1) & (1 - λ_{2 / 3}) x & = & 0 \\ (2) & (-1 - λ_{2 / 3}) y & = & 0 \\ (3) & (-1 - λ_{2 / 3}) z & = & 0 \end{array} also \begin{array}{ccc} 2 x & = & 0 \\ 0 y & = & 0 \\ 0 z & = & 0 \end{array} also \begin{array}{ll} x = 0 \\ y beliebig \\ z beliebig. \end{array}

Jeder Einheitsvektor $v = 〈 0, a, b 〉 / \sqrt{(a^{2} + b^{2})}$ erfüllt die Eigenwertgleichung, es gibt also unendlich viele normierte Eigenvektoren für die beiden gleichen Eigenwerte $λ_{2} = λ_{3} = -1$ , auch wenn man nur in einem Faktor sich unterscheidende Vektoren miteinander identifizieren kann (d.h. als gleich betrachtet) .

Wir haben hier ein Beispiel für Entartung: nicht alle Eigenvektoren zum gegebenen Eigenwert sind durch einen einzigen (normierten) Eigenvektor charakterisierbar, sondern dafür sind mehrere (linear unabhängige) Eigenvektoren nötig. Hier sind es zwei, einer davon, sagen wir $v_{2}$ , kann beliebig vorgegeben werden, ein weiterer, $v_{3}$ , wird orthogonal zu $v_{2}$ bestimmt. Alle übrigen entstehen dann durch Linearkombination von $v_{2}$ und $v_{3}$ . Die einfachste Wahl sind hier die beiden Einheitsvektoren $j$ und $k$ in $y$ - bzw. $z$ -Richtung. Die Zahl der benötigten Vektoren nennt man auch die geometrische Multiplizität oder Vielfachheit des Eigenwerts. Sie hat, wie obiges Beispiel vermuten lässt, etwas mit der Zahl gleicher Eigenwerte zu tun, welche als algebraische Multiplizität oder Vielfachheit bezeichnet wird. In vielen Fällen sind beide Vielfachheiten schlicht identisch. Das kommt in Matrixtypen und ihre Eigenwerte noch detaillierter als hier.