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Eigenwerte einer Matrix - Einführende Beispiele

Beispiel 1: 180-Grad-Drehung um die x -Achse in der Ebene

Natürlich wissen wir bereits ohne die Eigenwertgleichung im Voraus, was die Lösung sein muss: jeder Vektor entlang der x -Achse ist Eigenvektor!

1. Schritt

Aufstellen des linearen Gleichungssystems aus der Eigenwertgleichung. Für letztere gilt, da die Rotationsmatrix R x ( 180 ) x in x und y in - y überführt:

1 0 0 -1 x y = λ x y = λ x λ y .

Wir schreiben die Gleichungen aus und bringen die Unbekannten x , y auf die linke Seite. Es resultiert ein homogenes Gleichungssystem:

(1) ( 1 - λ ) x + 0 y = 0 (2) 0 x + ( -1 - λ ) y = 0 .

2. Schritt

Eine Lösung existiert nur, wenn die Koeffizientendeterminante des Gleichungssystems Null ist. Ihre Entwicklung ergibt das so genannte charakteristische Polynom, charakteristische Gleichung oder Säkulargleichung P der Eigenwertgleichung:

1 - λ 0 0 -1 - λ = ( 1 - λ ) ( -1 - λ ) = λ 2 - 1 = P ( λ ) .

Die beiden Nullstellen von P (d.h. die beiden Lösungen der Gleichung P ( λ ) = 0 ), und damit die Eigenwerte, lauten:

λ 1 = +1 und λ 2 = -1 .

3. Schritt

Einsetzen der beiden Eigenwerte in das Gleichungssystem ergibt die Bestimmungsgleichungen für die beiden Eigenvektoren:

λ 1 = +1 (1) ( 1 - λ 1 ) x = 0 (2) ( -1 - λ 1 ) y = 0 also 0 x = 0 -2 y = 0 also x beliebig y = 0

Es folgt, dass jeder Vektor a , 0 mit a 0 ein Eigenvektor von R x ( 180 ) zum Eigenwert +1 ist. Dies entspricht genau unserer Erwartung! Da nur die Achsenlage interessiert, normieren wir den Vektor, d.h. wir legen a gemäß a 2 +0 = 1 fest. Mit a 1 = + 1 und a 2 = -1 erhalten wir die beiden Einheitsvektoren i und - i entlang der x -Achse. Das entspricht obiger Feststellung, dass die Eigenwertgleichung A r = λ r durch r = i und r = - i erfüllt wird. Wir wählen also i als Eigenvektor zum Eigenwert +1 .

Unser oben gestecktes Ziel ist damit erreicht: Ausgehend von der Drehmatrix R x ( 180 ) haben wir analytisch den Vektor gefunden, der die Achse der Drehung spezifiziert.

Es stellt sich die Frage, welches Resultat mit dem zweiten Eigenwert entsteht.

λ 2 = -1 (1) ( 1 - λ 2 ) x = 0 (2) ( -1 - λ 2 ) y = 0 also 2 x = 0 0 y = 0 also x = 0 y beliebig

Es folgt, dass jeder Vektor 0 , a mit a 0 ein Eigenvektor von R ( 180 ) ist. Nach Normierung entsteht der Einheitsvektor j in y -Richtung als Eigenvektor zum Eigenwert -1 . In der Tat erfüllt auch dieser Vektor die Eigenwertgleichung: R ( 180 ) j = ( -1 ) j .

Abb.1
180-Grad-Drehung um die x -Achse in der Ebene

In der Animation ist zu sehen, dass x und A x kollinear in den Koordinatenrichtungen ± x und ± y (Eigenrichtungen) sind.

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