zum Directory-modus

Eigenwerte einer Matrix - Einführende Beispiele

Matrixtypen und ihre Eigenwerte

Der folgende Text gibt anhand von Beispielen eine Übersicht für die Eigenwerte und Eigenvektoren verschiedener Typen von quadratischen Matrizen A sowie allgemeine Regeln für die Eigenwerte und Eigenvektoren. Ausgangspunkt ist

A r = λ r .

Beispielmatrizen

1 1 2 2 2 1 1 2 3 -2 1 0 2 -3 0 1 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 3 Fall 1 Fall 2 Fall 3 1 1 2 -1 2 1 -2 -1 3 1 0 0 0 2 1 0 2 3 1 0 0 0 2 1 0 ± 1 3 Fall 4 Fall 5 Fall 6
Tab.1
Beispielmatrizen
FallMatrixtyp det A Art der Eigenwerte λ 1 λ 2 λ 3
1unsymmetrisch -2 ein reeller, zwei konj. kompl. 5,141 0,43 +0,632 i 0,43 +0,632 i
2singulär 0 einer = 0 , zwei reelle 0 -4 -1
3symmetrisch3drei reelle -0,292 1,397 4,895
4antisymmetrisch 18 ein reeller, zwei konj. kompl. 2 2 +2,236 i 2 - 2,236 i
5diagonale Blöcke * ) 4 drei reelle 4 1 1
6diagonale Blöcke * ) 5 drei reelle 1 1,382 3,618
symmetrisch
diagonale Blöcke * ) 5 ein reeller, zwei konj. kompl. 1 2,5 +0,866 i 2,5 -0,866 i
antisymmetrisch

* ) links oben: Untermatrix 1 × 1 - A 1 ; rechts unten: Untermatrix 2 × 2 - A 2 (s. Linien).

  • Bei Matrizen mit diagonaler Blockstruktur (Fall 5, 6) kann die Eigenwertgleichung für die Untermatrizen A 1 , A 2 , separat gelöst werden (Fall 5: 1 × 1 - A 1 und 2 × 2 - A 2 )!
  • Ein spezieller Fall ist eine n × n -Diagonalmatrix: Es gilt λ i = a i i mit i = 1 , n . .

Eigenwerte der Matrix A

Die n Wurzeln λ 1 , λ 2 , , λ n des so genannten charakteristischen Polynoms P ( λ ) (wird in Eigenwerte einer Matrix - Das charakteristische Polynom erklärt) sind die Eigenwerte von A . Es gelten folgende Aussagen:

  • P ( λ ) = ( -1 ) n ( λ - λ 1 ) ( λ - λ 2 ) ( λ - λ n ) Vietá´scher Wurzelsatz
  • det A = | A | = λ 1 λ 2 λ n
  • Sp A = Tr A = k = 1 n a k k = j = 1 n λ j Spur, engl. Trace
  • Es gibt höchstens n (im Allgemeinen komplexe) verschiedene Eigenwerte, d.h. Eigenwerte können m -fach gleich sein (algebraische Multiplizität, Vielfachheit) .
  • Eigenwerte symmetrischer Matrizen sind reell.
  • Eigenwerte antisymmetrischer Matrizen sind rein imaginär oder 0 .
  • Eigenwerte orthogonaler Matrizen haben den Absolutwert Eins ( | λ i | = 1 ).

Eigenvektoren

  • Einsetzen des m i -fachen Eigenwerts λ i in das Gleichungssystem ergibt n - m i linear unabhängige Bestimmungsgleichungen für die n Komponenten des Eigenvektors v i zum Eigenwert λ i .
  • Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
  • Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix können als Spaltenvektoren einer orthogonalen n × n -Matrix aufgefasst werden.
  • Für 1-fache Eigenwerte λ i sind n -1 Komponenten des Eigenvektors v i durch das Gleichungssystem bestimmt, die n -te Komponente ergibt sich durch Normierung | v i | = 1 (Beispiel 1).
  • Für 2-fache Eigenwerte λ i = λ i +1 sind n -2 durch das Gleichungssystem bestimmt, es gibt unendlich viele Eigenvektoren (genau genommen gibt es bei 1 -fachen Eigenwerten auch unendlich viele Eigenvektoren, nur sind die alle kollinear). Hier wird der normierte Eigenvektor v i beliebig gewählt, der zweite v i +1 orthogonal zu v i . Alle übrigen Eigenvektoren sind Linearkombinationen von v i , v i +1 (Beispiel 2). Entsprechendes gilt für höhere Multiplizität.
Seite 5 von 5>