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Eigenwerte einer Matrix - Einführende Beispiele

Einführung

Die Multiplikation einer reellen 3 × 3 -Matrix A mit einem Vektor x führt zu einem Vektor y , also

A x = y .

Gilt insbesondere det A = ± 1 und sind die Spalten- und Zeilenvektoren orthogonal, so liegt eine Drehmatrix vor: y entsteht durch Drehung um eine Achse im 3D-Raum, es gilt | x | = | y | . In der Regel wird die Drehachse vorgegeben und die Matrixelemente werden entsprechend bestimmt. Ein Beispiel ist

1 0 0 0 cos ( a ) - sin ( a ) 0 sin ( a ) cos ( a )

(Drehung um die x-Achse mit Winkel a ). Die Situation ist anders, wenn die Matrix A z.B. gegeben ist als

3 2 - 1 2 0 3 4 6 4 - 2 2 2 4 6 4 2 2 .

Sie erfüllt obige Bedingungen, wie schnell festzustellen ist. In welcher Raumrichtung die Drehachse liegt, ist dagegen nicht unmittelbar erkennbar.

Eine einfache Überlegung hilft uns, die Achsenlage zu bestimmen: Jeder Vektor r , der in der Drehachse liegt, wird durch die Drehung in seiner Achsenlage nicht verändert! Die Multiplikation A r muss also einen zu r kollinearen Vektor ergeben. Dieser Vektor hat die allgemeine Form λ r , wobei λ ein von der Matrix A abhängiger Faktor ist. Damit erhalten wir folgende Abbildungsvorschrift:

A r = λ r .

Diese Gleichung wird als Eigenwertgleichung für A bezeichnet, entsprechend r als Eigenvektor und λ als Eigenwert der Matrix A .

Genauer müssten wir vom Eigenvektor r zum Eigenwert λ sprechen, da eine Matrix i. Allg. mehrere verschiedene Eigenwerte hat, jeder Eigenvektor aber nur einem Eigenwert zugeordnet werden kann, wie man sich mit obiger Gleichung klarmacht (Hinweis: es kann nicht A r = λ 1 r und A r = λ 2 r mit demselben vom Nullvektor verschiedenen r für verschiedene λ 1 , λ 2 gelten). Aus der Eigenwertgleichung folgt durch Einsetzen unmittelbar, dass auch a r mit a 0 ein Eigenvektor ist. Im Sonderfall a = -1 ist es der invertierte Vektor - r . Es reicht deshalb aus, als Lösung nur einen Vektor anzugeben, den man vorzugsweise normiert wählt.

Das ist aber nicht immer so. Es kann vorkommen, dass eine Matrix einen Eigenwert hat, zu dem man mehrere (linear unabhängige) Eigenvektoren angeben muss, um alle zu diesem Eigenwert gehörenden Eigenvektoren zu charakterisieren. In einem solchen Fall spricht man von einem entarteten Eigenwert. Wir werden gleich ein Beispiel dazu angeben.

Mathematisch gesehen stellt die Eigenwertgleichung ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Komponenten von r dar. Auch der Eigenwert λ ist unbekannt. Wie solche Systeme zu lösen sind, wird in der Lerneinheit Lösung linearer Gleichungssysteme gezeigt. Hier handelt es sich um ein homogenes Gleichungssystem, dessen Lösung die gesuchten Eigenwerte und normierten Eigenvektoren ergibt. Betrachten wir einige Beispiele:

  • Beispiel 1: 180-Grad-Drehung um die x-Achse in der Ebene
  • Beispiel 2: 180-Grad-Drehung um die x-Achse im Raum
  • Beispiel 3: Drehung mit einem beliebigen Winkel um die x-Achse im Raum

Nach Durcharbeitung der Beispiele besitzen wir nun das mathematische Rüstzeug, um die Drehachse der eingangs erwähnten Matrix zu bestimmen. Es ist allerdings unbequem und fehleranfällig, die expliziten Rechnungen gemäß der Schritte 1 - 3 per Hand durchzuführen. Schneller und sicherer geht es mit einem mathematischen Softwarewerkzeug wie dem Programm MathCad (Fa. MathSoft). Das Ergebnis zeigt die nachfolgende Box.

Abb.1
MathCad-Dokument

Matrix-Eigenwertgleichungen finden vielfältige Anwendungen. Hier einige Beispiele:

  • Quantenmechanik: Spin und spinähnliche Größen.
  • Quantenmechanik: Näherungsweise Lösung der Schrödinger-Gleichung (Rayleigh-Ritz-Verfahren), z.B. um die Energieniveaus eines Moleküls zu berechnen.
  • Quantenmechanik: Messwerte von Observablen. Hier ist es zwar der allgemeinere Begriff der Eigenwertgleichung eines linearen Operators, vom Prinzip her aber das Gleiche wie bei den Matrizen. Es sei wegen seiner Wichtigkeit hier erwähnt.
  • Normalschwingungen: Auffinden der Normalkoordinaten. Selbst ein Gebiet mit vielfältigen Anwendungen, z.B. in der Spektroskopie (IR).
  • Tensoren: Hauptachsentransformation. Kommt u.a. in der Mechanik deformierbarer Körper und in der NMR-Spektroskopie vor.
  • Systeme von homogenen Differenzialgleichungen erster Ordnung: Lösungsalgorithmus.
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