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Schiefwinklige Koordinatensysteme

Schiefwinklige Koordinatensysteme

Wir nehmen jetzt an, dass unser Koordinatensystem nicht orthogonal oder schiefwinklig ist. Bei der Beschreibung der Eigenschaften eines Stoffes, z.B. eines Kristalls, wäre es mitunter vorteilhaft, die von dem Kristall definierten Koordinatenachsen anzunehmen.

Wir betrachten drei nicht orthogonale Einheitsvektoren a , b , c , die die Achsen eines Koordinatensystems im 3D-Raum bilden und drei orthogonale Einheitsvektoren i , j , k eines kartesischen Koordinatensystems. Die Vektoren a , b , c bilden z.B. eine Basis für das periodische Raumgitter eines Kristalls. Ein beliebiger Ortsvektor v hat die kartesische Komponentendarstellung:

v = v x i + v y j + v z k .

Derselbe Vektor v hat in dem schiefwinkligen Koordinatensystem die Komponentendarstellung:

v ' = v a a + v b b + v c c = v .

Da i , j , k eine Basis bildet, gilt für die schiefwinkligen Einheitsvektoren:

a = a x i + a y j + a z k b = b x i + b y j + b z k c = c x i + c y j + c z k .

Aus , und ergibt sich dann:

v x i + v y j + v z k = v a ( a x i + a y j + a z k ) + v b ( b x i + b y j + b z k ) + v c ( c x i + c y j + c z k ) .

Vergleicht man die kartesischen Komponenten in , so erhält man:

v x = a x v a + b x v b + c x v c v y = a y v a + b y v b + c y v c v z = a z v a + b z v b + c z v c .

In Matrixform lautet die lineare Transformation :

v x v y v z = a x b x c x a y b y c y a z b z c z v a v b v c oder v = P v ' .

Die Transformationsmatrix P ist im Allgemeinen nicht orthogonal. Um die Komponenten des Vektors in den schiefwinkligen Koordinaten zu bestimmen, muss die inverse Matrix P -1 = Q gefunden werden. Die Elemente von Q sind (siehe Link)

q i j = P j i det P ,

wobei P i j = ( -1 ) i + j D i j und D i j die Unterdeterminante zum Element p i j ist. Führt man die Berechnung der Unterdeterminanten von P aus, so erhält man:

D = b y c z - c y b z c z a y - a z c y a y b z - b y a z c z b x - c x b z a x c z - c x a z a x b z - b x a z b x c y - b y c x a x c y - c x a y a x b y - b x a y .

Ersetzt man D i j durch ( -1 ) i + j D i j , transponiert man die entstehende Matrix und teilt man anschließend durch det P , so ergibt sich die inverse Matrix:

Q = 1 det P b y c z - c y b z b z c x - b x c z b x c y - b y c x c y a z - a y c z a x c z - c x a z c x a y - a x c y a y b z - b y a z b x a z - b z a x a x b y - b x a y ,

mit

det P = a x b y c z - a x c y b z + a y b z c x - a y b x c z + a z b x c y - a z b y c x .

Man erkennt det P als das Spatprodukt der Vektoren a , b , c :

det P = ( a × b ) c .

Definiert man drei neue Vektoren a ' , b ' , c ' :

a ' = b × c ( a × b ) c b ' = c × a ( a × b ) c c ' = a × b ( a × b ) c ,

so sind die Elemente von Q gegeben durch

Q = a ' x a ' y a ' z b ' x b ' y b ' z c ' x c ' y c ' z .

Wegen

P Q = Q P = I

ist

a ' a = b ' b = c ' c = 1

und

a ' b = a ' c = b ' a = b ' c = c ' a = c ' b = 0 .

Die Vektoren a ' , b ' , c ' heißen reziproke Gittervektoren und das reziproke Gitter lässt sich als die dreidimensionale Fouriertransformierte des Raumgitters interpretieren. Eine im Kristall periodische Ortsfunktion (z.B. die Elektronendichte ρ ( r ) = ρ ( r + T ) mit T = l a + m b + n c ein beliebiger Translationsvektor des Raumgitters und l , m , n ganze Zahlen) kann durch die Ortsfrequenzen (Translationsvektoren des reziproken Gitters) G = l ' a ' + m ' b ' + n ' c ' mit l ' , m ' , n ' entwickelt werden:

ρ ( r ) = G ρ G e i 2 π G r .
Beispiel

Die folgenden Einheitsvektoren definieren ein schiefwinkliges Koordinatensystem:

a = i , b = 1 2 ( - i + j ) , c = k .

Zur Berechnung der zugehörigen reziproken Gittervektoren sind die folgenden Vektorprodukten zu finden:

a × b = 1 2 i j k 1 0 0 -1 1 0 = 1 2 k b × c = 1 2 i j k -1 1 0 0 0 1 = 1 2 ( i + j ) c × a = i j k 0 0 1 1 0 0 = j

und

( a × b ) c = 1 2 .

Die reziproken Gittervektoren sind

a ' = b × c ( a × b ) c = i + j b ' = c × a ( a × b ) c = 2 j c ' = a × b ( a × b ) c = k .

Bilden a , b , c eine orthonormale rechtshändige Basis, so gilt:

a × b = c , b × c = a , c × a = b

und aus ergibt sich dann

a ' = b × c ( a × b ) c = a c c = a b ' = b c ' = c .

Somit ist

Q = a x a y a z b x b y b z c x c y c z = P T

eine orthogonale Matrix.

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