Form der orthogonalen Matrix in zwei Dimensionen

Gegeben sei die orthogonale Matrix

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{rr}\mathit{a}& \mathit{b}\\ \mathit{c}& \mathit{d}\end{array}\right).$$

Wir bestimmen die Form der Koeffizienten $\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\mathit{d}$. Aus der Orthogonalitätsbedingung

$$\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{k}}={\delta }_{\mathit{j}\mathit{k}}$$

folgt:

$$\begin{array}{lcl}{\mathit{a}}^2+{\mathit{c}}^2& =& 1\\ {\mathit{b}}^2+{\mathit{d}}^2& =& 1\\ \mathit{a}\mathit{b}+\mathit{c}\mathit{d}& =& 0.\end{array}$$

Aus den ersten zwei Gleichungen in ergibt sich (siehe Trigonometrische Beziehungen):

$$\mathit{a}=cos\theta ,\mathit{b}=sin\phi ,\mathit{c}=sin\theta ,\mathit{d}=cos\phi .$$

Nach der dritten Gleichung ist dann

$$cos\theta sin\phi +sin\theta cos\phi =sin(\theta +\phi )=0.$$

Daraus folgt

$$\theta +\phi =\mathit{k}\pi \mathit{k}\text{ganze Zahl}.$$

Also ist

$$\mathit{b}=sin(\mathit{k}\pi -\theta )=sin\mathit{k}\pi cos\theta -cos\mathit{k}\pi sin\theta =-cos\mathit{k}\pi sin\theta$$

und

$$\mathit{d}=cos(\mathit{k}\pi -\theta )=cos\mathit{k}\pi cos\theta +sin\mathit{k}\pi sin\theta =cos\mathit{k}\pi cos\theta .$$

Es gilt

$$cos\mathit{k}\pi =\left\{\begin{array}{lcl}-1& & \mathit{k}\text{gerade}\\ 1& & \mathit{k}\text{ungerade}.\end{array}\right.$$

Für eine orthogonale Matrix gibt es somit zwei Möglichkeiten:

$$\begin{array}{lcll}\mathit{A}& =& \left(\begin{array}{rr}cos\theta & sin\theta \\ sin\theta & -cos\theta \end{array}\right)& \mathit{k}\text{gerade}\\ \mathit{A}& =& \left(\begin{array}{rr}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)& \mathit{k}\text{ungerade}.\end{array}$$

Die erste Form in entspricht einer Spiegelung ($\text{det}\mathit{A}=-1$), die zweite einer Drehung ($\text{det}\mathit{A}=1$) in der Ebene.