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Orthogonale Transformationen

Form der orthogonalen Matrix in zwei Dimensionen

Gegeben sei die orthogonale Matrix

A = a b c d .

Wir bestimmen die Form der Koeffizienten a , b , c , d . Aus der Orthogonalitätsbedingung

i = 1 2 a i j a i k = δ j k

folgt:

a 2 + c 2 = 1 b 2 + d 2 = 1 a b + c d = 0.

Aus den ersten zwei Gleichungen in ergibt sich (siehe Trigonometrische Beziehungen):

a = cos θ , b = sin φ , c = sin θ , d = cos φ .

Nach der dritten Gleichung ist dann

cos θ sin φ + sin θ cos φ = sin ( θ + φ ) = 0.

Daraus folgt

θ + φ = k π k ganze Zahl .

Also ist

b = sin ( k π - θ ) = sin k π cos θ - cos k π sin θ = - cos k π sin θ

und

d = cos ( k π - θ ) = cos k π cos θ + sin k π sin θ = cos k π cos θ .

Es gilt

cos k π = -1 k gerade 1 k ungerade .

Für eine orthogonale Matrix gibt es somit zwei Möglichkeiten:

A = cos θ sin θ sin θ - cos θ k gerade A = cos θ - sin θ sin θ cos θ k ungerade .

Die erste Form in entspricht einer Spiegelung ( det A = -1 ), die zweite einer Drehung ( det A = 1 ) in der Ebene.

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