Transformation des Koordinatensystems

Eine affine Abbildung in 3D-Raum lässt sich natürlich auch auf die Einheitsvektoren ${\mathit{e}}_1$, ${\mathit{e}}_2$ und ${\mathit{e}}_3$ des verwendeten Koordinatensystems anwenden. Für geeignet gewählte Koeffizienten ${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$ entstehen in diesem Fall drei neue Einheitsvektoren $\mathit{e}{\text{'}}_1$, $\mathit{e}{\text{'}}_2$ und $\mathit{e}{\text{'}}_3$, und jeder Vektor $\mathit{r}=({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,{\mathit{x}}_3)$ nimmt - bei unveränderter absoluter Raumlage - neue Komponentenwerte an.

Im Falle einer Rotation in 2D-Raum bedeutet dies, dass nicht der Vektor $\mathit{r}$, sondern die Einheitsvektoren $\mathit{i}$ und $\mathit{j}$ um die $\mathit{z}$-Achse gedreht werden:

$$\mathit{i},\mathit{j}\to \mathit{i}\text{'},\mathit{j}\text{'}.$$

Als Beispiel betrachten wir eine $\mathit{z}$-Drehung im Uhrzeigersinn um den Winkel $\theta$ (negative Werte für $\theta$!). Da sich bezüglich der $\mathit{z}$-Komponenten nichts ändert, betrachten wir der Schreibvereinfachung wegen nur die $\mathit{x},\mathit{y}$-Komponenten:

Für die Einheitsvektoren gilt:

$$\begin{array}{rcl}\mathit{i}\text{'}& =& cos\theta \mathit{i}-sin\theta \mathit{j}\\ \mathit{j}\text{'}& =& sin\theta \mathit{i}+cos\theta \mathit{i},\end{array}$$

und umgekehrt:

$$\begin{array}{rcl}\mathit{i}& =& cos\theta \mathit{i}\text{'}+sin\theta \mathit{j}\text{'}\\ \mathit{j}& =& -sin\theta \mathit{i}\text{'}+cos\theta \mathit{j}\text{'}.\end{array}$$

Für den im Raum unveränderten Vektor $\mathit{r}$ gilt demnach:

$$\mathit{r}=\mathit{x}\mathit{i}+\mathit{y}\mathit{j}=\mathit{x}\text{'}\mathit{i}\text{'}+\mathit{y}\text{'}\mathit{j}\text{'}.$$

Seine neuen Komponenten $\mathit{x}\text{'},\mathit{y}\text{'}$ erhalten wir durch Ersetzen von $\mathit{i},\mathit{j}$ durch $\mathit{i}\text{'},\mathit{j}\text{'}$:

$$\mathit{r}=\mathit{x}\cdot (cos\theta \mathit{i}\text{'}+sin\theta \mathit{j}\text{'})+\mathit{y}\cdot (-sin\theta \mathit{i}\text{'}+cos\theta \mathit{j}\text{'})$$

oder

$$\mathit{r}=(\mathit{x}cos\theta -\mathit{y}sin\theta )\mathit{i}\text{'}+(\mathit{x}sin\theta +\mathit{y}cos\theta )\mathit{j}\text{'}.$$

Also

$$\begin{array}{rcl}\mathit{x}\text{'}& =& \mathit{x}cos\theta -\mathit{y}sin\theta \\ \mathit{y}\text{'}& =& \mathit{x}sin\theta +\mathit{y}cos\theta .\end{array}$$

Die Transformationsmatrix lautet:

$$\mathit{T}=\left(\begin{array}{rr}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)$$

Sie ist dieselbe Matrix, die die Drehung eines Vektors um den Winkel $\theta$ im Anti-Uhrzeigersinn verursacht, d.h. bei

• der Drehung des Vektors $\mathit{r}$ um den Winkel $\theta >0$ (Anti-Uhrzeigersinn) bei unverändertem Koordinatensystem (aktive Transformation) und
• der Drehung des Koordinatensystems um den Winkel $\theta <0$ (Uhrzeigersinn) bei unverändertem Vektor $\mathit{r}$ (passive Transformation)

entstehen die gleichen Komponentenwerte $\mathit{x}\text{'},\mathit{y}\text{'}$ bezüglich des $\mathit{i},\mathit{j}$- bzw. $\mathit{i}\text{'},\mathit{j}\text{'}$-Koordinatensystems.

$$\text{Drehung eines Vektors um}\theta \iff \text{Drehung eines Koordinatensystems um}-\theta \text{.}$$