Orthogonale Transformationen
Transformation des Koordinatensystems
Eine affine Abbildung in 3D-Raum lässt sich natürlich auch auf die Einheitsvektoren , und des verwendeten Koordinatensystems anwenden. Für geeignet gewählte Koeffizienten entstehen in diesem Fall drei neue Einheitsvektoren , und , und jeder Vektor nimmt - bei unveränderter absoluter Raumlage - neue Komponentenwerte an.
Im Falle einer Rotation in 2D-Raum bedeutet dies, dass nicht der Vektor , sondern die Einheitsvektoren und um die -Achse gedreht werden:
Als Beispiel betrachten wir eine -Drehung im Uhrzeigersinn um den Winkel (negative Werte für !). Da sich bezüglich der -Komponenten nichts ändert, betrachten wir der Schreibvereinfachung wegen nur die -Komponenten:
Für die Einheitsvektoren gilt:
und umgekehrt:
Für den im Raum unveränderten Vektor gilt demnach:
Seine neuen Komponenten erhalten wir durch Ersetzen von durch :
oder
Also
Die Transformationsmatrix lautet:
Sie ist dieselbe Matrix, die die Drehung eines Vektors um den Winkel im Anti-Uhrzeigersinn verursacht, d.h. bei
- der Drehung des Vektors um den Winkel (Anti-Uhrzeigersinn) bei unverändertem Koordinatensystem (aktive Transformation) und
- der Drehung des Koordinatensystems um den Winkel (Uhrzeigersinn) bei unverändertem Vektor (passive Transformation)
entstehen die gleichen Komponentenwerte bezüglich des - bzw. -Koordinatensystems.
- Abb.1
- Drehung des Koordinatensystems
- Abb.2
- Drehung eines Vektors