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Orthogonale Transformationen

Transformation des Koordinatensystems

Eine affine Abbildung in 3D-Raum lässt sich natürlich auch auf die Einheitsvektoren e 1 , e 2 und e 3 des verwendeten Koordinatensystems anwenden. Für geeignet gewählte Koeffizienten a i j entstehen in diesem Fall drei neue Einheitsvektoren e ' 1 , e ' 2 und e ' 3 , und jeder Vektor r = ( x 1 , x 2 , x 3 ) nimmt - bei unveränderter absoluter Raumlage - neue Komponentenwerte an.

Im Falle einer Rotation in 2D-Raum bedeutet dies, dass nicht der Vektor r , sondern die Einheitsvektoren i und j um die z -Achse gedreht werden:

i , j i ' , j ' .

Als Beispiel betrachten wir eine z -Drehung im Uhrzeigersinn um den Winkel θ (negative Werte für θ !). Da sich bezüglich der z -Komponenten nichts ändert, betrachten wir der Schreibvereinfachung wegen nur die x , y -Komponenten:

Für die Einheitsvektoren gilt:

i ' = cos θ i - sin θ j j ' = sin θ i + cos θ i ,

und umgekehrt:

i = cos θ i ' + sin θ j ' j = - sin θ i ' + cos θ j ' .

Für den im Raum unveränderten Vektor r gilt demnach:

r = x i + y j = x ' i ' + y ' j ' .

Seine neuen Komponenten x ' , y ' erhalten wir durch Ersetzen von i , j durch i ' , j ' :

r = x ( cos θ i ' + sin θ j ' ) + y ( - sin θ i ' + cos θ j ' )

oder

r = ( x cos θ - y sin θ ) i ' + ( x sin θ + y cos θ ) j ' .

Also

x ' = x cos θ - y sin θ y ' = x sin θ + y cos θ .

Die Transformationsmatrix lautet:

T = cos θ - sin θ sin θ cos θ

Sie ist dieselbe Matrix, die die Drehung eines Vektors um den Winkel θ im Anti-Uhrzeigersinn verursacht, d.h. bei

  • der Drehung des Vektors r um den Winkel θ > 0 (Anti-Uhrzeigersinn) bei unverändertem Koordinatensystem (aktive Transformation) und
  • der Drehung des Koordinatensystems um den Winkel θ < 0 (Uhrzeigersinn) bei unverändertem Vektor r (passive Transformation)

entstehen die gleichen Komponentenwerte x ' , y ' bezüglich des i , j - bzw. i ' , j ' -Koordinatensystems.

Drehung eines Vektors um θ Drehung eines Koordinatensystems um - θ .
Abb.1
Drehung des Koordinatensystems
Abb.2
Drehung eines Vektors
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