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Orthogonale Transformationen

Ähnlichkeitstransformationen

Nehmen wir an, die Matrix A dreht den Vektor r in einen neuen Vektor r 1

r 1 = A r .

Jetzt drehen wir das Koordinatensystem unter Verwendung der Matrix B . Diese dreht die Achsen x , y , z in x ' , y ' , z '

B r 1 = B A r = B A ( B -1 B ) r = ( B A B -1 ) B r .

In dem neuen Koordinatensystem ist B r 1 gleich r 1 . Das Entsprechende gilt auch für B r . Die Matrix B A B -1 dreht im neuen Koordinatensystem den Vektor B r in den Vektor B r 1 . Folglich ist die Form von A in dem neuen Koordinatensystem:

A ' = B A B -1 .

Diese Transformation wird als Ähnlichkeitstransformation bezeichnet. B muss nicht notwendig orthogonal sein. Die Matrizen A ' und A heißen ähnlich. Übrigens lässt sich die interessante Frage stellen, ob A für eine passende invertierbare Matrix B laut in eine Diagonalform übergehen kann (so genannte Diagonalisierung). In einem solchen Koordinatensystem werden die entlang der Koordinatenachsen liegenden Vektoren unter Verwendung von A ' einfach mit Skalaren multipliziert.

In Komponentenform lautet :

a ' i j = k , l = 1 3 b i k a k l b l j -1 .

Wenn B orthogonal ist

b l j -1 = b l j T = b j l .

Es folgt

a ' i j = k , l = 1 3 b i k b j l a k l .

Dies ist die Definition eines Tensors zweiter Stufe.

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