Orthogonale Transformationen
Orthogonale Transformationen
Wir betrachten eine Lineartransformation, bei der die Länge eines Vektors unverändert bleibt, z.B. bei einer Drehung oder Spiegelung des Vektors:
Die Bedingung, dass die Länge des Vektors erhalten wird, lautet
- Abb.1
- Drehung eines Vektors
Nun untersuchen wir die Relation zwischen den Elementen , die diese Beschränkung auferlegt. Drückt man die Komponente durch und aus, so erhält man
Vertauscht man die Reihenfolge der Summationen auf der linken Seite, dann erhält man
Diese Bedingung wird nur erfüllt, wenn
wobei das Kroneckersymbol ist.
Transponieren wir die Indizes der Koeffizienten , d.h.
so identifizieren wir den resultierenden Ausdruck als eine Matrix-Multiplikation:
Eine Matrix mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als orthogonale Matrix. Dies schließt auch in sich, dass die transponierte Matrix der inversen Matrix gleich ist
- Orthogonale Matrix
- Die Bedingung, dass eine Matrix orthogonal ist, lässt sich in folgenden äquivalenten Formulierungen ausdrücken
Eine weitere Eigenschaft einer orthogonalen Matrix betrifft ihre Determinante
Die Orthogonalitätsbedingung lässt sich auch als Skalarprodukt der einzelnen Spaltenvektoren von interpretieren
Sie zeigt an, dass die Spaltenvektoren ein orthonormiertes System bilden.
- Beispiel
Die Drehungsmatrix im 2D-Raum
ist orthogonal:
Für Matrizen mit komplexen Elementen haben die so genannten unitären Matrizen die Eigenschaft