Orthogonale Transformationen

Wir betrachten eine Lineartransformation, bei der die Länge eines Vektors $\mathit{r}=({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2)$ unverändert bleibt, z.B. bei einer Drehung oder Spiegelung des Vektors:

$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{rcl}& \mathit{x}{\text{'}}_1& \\ & \mathit{x}{\text{'}}_2& \end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{rr}{\mathit{a}}_{11}& {\mathit{a}}_{12}\\ {\mathit{a}}_{21}& {\mathit{a}}_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}& {\mathit{x}}_1& \\ & {\mathit{x}}_2& \end{array}\right)\\ \mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}& =& \sum _{\mathit{j}=1}^2{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{x}}_{\mathit{j}}\\ \mathit{r}\text{'}& =& \mathit{A}\mathit{r}\text{.}\end{array}$$

Die Bedingung, dass die Länge des Vektors erhalten wird, lautet

$$\sum _{\mathit{i}=1}^2\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}=\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{x}}_{\mathit{i}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}\text{.}$$

Nun untersuchen wir die Relation zwischen den Elementen ${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$, die diese Beschränkung auferlegt. Drückt man die Komponente $\mathit{x}{\text{'}}_{\mathit{i}}$ durch ${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$ und ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}$ aus, so erhält man

$$\sum _{\mathit{i}=1}^2\left(\sum _{\mathit{j}=1}^2{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{x}}_{\mathit{j}}\sum _{\mathit{k}=1}^2{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{k}}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}\right)=\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{x}}_{\mathit{i}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}\text{.}$$

Vertauscht man die Reihenfolge der Summationen auf der linken Seite, dann erhält man

$$\sum _{\mathit{j}=1}^2\sum _{\mathit{k}=1}^2\left(\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{k}}\right){\mathit{x}}_{\mathit{j}}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}=\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{x}}_{\mathit{i}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}\text{.}$$

Diese Bedingung wird nur erfüllt, wenn

$$\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{k}}={\delta }_{\mathit{j}\mathit{k}}=\left\{\begin{array}{rcl}1& & \mathit{j}=\mathit{k}\\ 0& & \mathit{j}\ne \mathit{k}\end{array}\right.$$

wobei ${\delta }_{\mathit{j}\mathit{k}}$ das Kroneckersymbol ist.

$$\sum _{\mathit{j}=1}^2\sum _{\mathit{k}=1}^2{\delta }_{\mathit{j}\mathit{k}}{\mathit{x}}_{\mathit{j}}{\mathit{x}}_{\mathit{k}}=\sum _{\mathit{j}=1}^2{\mathit{x}}_{\mathit{j}}{\mathit{x}}_{\mathit{j}}=\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{x}}_{\mathit{i}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}\text{.}$$

Transponieren wir die Indizes der Koeffizienten ${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$, d.h.

$$\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{k}}=\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{a}}_{\mathit{j}\mathit{i}}^{\text{T}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{k}}={\delta }_{\mathit{j}\mathit{k}},$$

so identifizieren wir den resultierenden Ausdruck als eine Matrix-Multiplikation:

$${\mathit{A}}^{\text{T}}\mathit{A}=\mathit{I}\text{.}$$

Eine Matrix $\mathit{A}$ mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als orthogonale Matrix. Dies schließt auch in sich, dass die transponierte Matrix ${\mathit{A}}^{\text{T}}$ der inversen Matrix ${\mathit{A}}^{-1}$ gleich ist

$${\mathit{A}}^{\text{T}}={\mathit{A}}^{-1}\text{.}$$

Orthogonale Matrix

Die Bedingung, dass eine Matrix $\mathit{A}$ orthogonal ist, lässt sich in folgenden äquivalenten Formulierungen ausdrücken

$$\begin{array}{ll}& \sum _{\mathit{i}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{k}}={\delta }_{\mathit{j}\mathit{k}}\\ & \sum _{\mathit{i}}{\mathit{a}}_{\mathit{j}\mathit{i}}{\mathit{a}}_{\mathit{k}\mathit{i}}={\delta }_{\mathit{j}\mathit{k}}\\ & {\mathit{A}}^{\text{T}}\mathit{A}=\mathit{A}{\mathit{A}}^{\text{T}}=\mathit{I}\\ & {\mathit{A}}^{\text{T}}={\mathit{A}}^{-1}\text{.}\end{array}$$

Eine weitere Eigenschaft einer orthogonalen Matrix betrifft ihre Determinante

$$\begin{array}{rcl}\text{det}{\mathit{A}}^{\text{T}}\text{det}\mathit{A}& =& \text{det}\mathit{I}\\ \Rightarrow (\text{det}\mathit{A}{)}^2& =& 1\\ \Rightarrow \text{det}\mathit{A}& =& \pm 1\end{array}$$

Die Orthogonalitätsbedingung lässt sich auch als Skalarprodukt der einzelnen Spaltenvektoren ${\mathit{a}}_{\mathit{i}}$ von $\mathit{A}$ interpretieren

$$\sum _{\mathit{i}=1}^2{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}{\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{k}}={\mathit{a}}_{\mathit{j}}\cdot {\mathit{a}}_{\mathit{k}}={\delta }_{\mathit{j}\mathit{k}}.$$

Sie zeigt an, dass die Spaltenvektoren ein orthonormiertes System bilden.

Beispiel

Die Drehungsmatrix im 2D-Raum

$$\mathit{D}=\left(\begin{array}{rr}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)$$

ist orthogonal:

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{D}}^{\text{T}}\mathit{D}& =& \left(\begin{array}{rr}cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{rr}{cos}^2\theta +{sin}^2\theta & 0\\ 0& {cos}^2\theta +{sin}^2\theta \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\\ & =& \mathit{I}\text{.}\end{array}$$

Für Matrizen mit komplexen Elementen haben die so genannten unitären Matrizen die Eigenschaft

$${\mathit{A}}^{+}\mathit{A}=\mathit{A}{\mathit{A}}^{+}=\mathit{I}.$$