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Orthogonale Transformationen

Orthogonale Transformationen

Wir betrachten eine Lineartransformation, bei der die Länge eines Vektors r = ( x 1 , x 2 ) unverändert bleibt, z.B. bei einer Drehung oder Spiegelung des Vektors:

x ' 1 x ' 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 x 1 x 2 x ' i = j = 1 2 a i j x j r ' = A r .

Die Bedingung, dass die Länge des Vektors erhalten wird, lautet

i = 1 2 x ' i x ' i = i = 1 2 x i x i .
Abb.1
Drehung eines Vektors

Nun untersuchen wir die Relation zwischen den Elementen a i j , die diese Beschränkung auferlegt. Drückt man die Komponente x ' i durch a i j und x i aus, so erhält man

i = 1 2 j = 1 2 a i j x j k = 1 2 a i k x k = i = 1 2 x i x i .

Vertauscht man die Reihenfolge der Summationen auf der linken Seite, dann erhält man

j = 1 2 k = 1 2 i = 1 2 a i j a i k x j x k = i = 1 2 x i x i .

Diese Bedingung wird nur erfüllt, wenn

i = 1 2 a i j a i k = δ j k = 1 j = k 0 j k

wobei δ j k das Kroneckersymbol ist.

j = 1 2 k = 1 2 δ j k x j x k = j = 1 2 x j x j = i = 1 2 x i x i .

Transponieren wir die Indizes der Koeffizienten a i j , d.h.

i = 1 2 a i j a i k = i = 1 2 a j i T a i k = δ j k ,

so identifizieren wir den resultierenden Ausdruck als eine Matrix-Multiplikation:

A T A = I .

Eine Matrix A mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als orthogonale Matrix. Dies schließt auch in sich, dass die transponierte Matrix A T der inversen Matrix A -1 gleich ist

A T = A -1 .
Orthogonale Matrix
Die Bedingung, dass eine Matrix A orthogonal ist, lässt sich in folgenden äquivalenten Formulierungen ausdrücken
i a i j a i k = δ j k i a j i a k i = δ j k A T A = A A T = I A T = A -1 .

Eine weitere Eigenschaft einer orthogonalen Matrix betrifft ihre Determinante

det A T det A = det I ( det A ) 2 = 1 det A = ± 1

Die Orthogonalitätsbedingung lässt sich auch als Skalarprodukt der einzelnen Spaltenvektoren a i von A interpretieren

i = 1 2 a i j a i k = a j a k = δ j k .

Sie zeigt an, dass die Spaltenvektoren ein orthonormiertes System bilden.

Beispiel

Die Drehungsmatrix im 2D-Raum

D = cos θ - sin θ sin θ cos θ

ist orthogonal:

D T D = cos θ sin θ - sin θ cos θ cos θ - sin θ sin θ cos θ = cos 2 θ + sin 2 θ 0 0 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 0 0 1 = I .

Für Matrizen mit komplexen Elementen haben die so genannten unitären Matrizen die Eigenschaft

A + A = A A + = I .
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