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Drehung von Vektoren in 2D- und 3D-Raum

Euler-Winkel

Die beliebige Drehung eines Punktes (oder eines starren Körpers) im 3D-Raum erfolgt durch drei aufeinander folgende Drehungen um bestimmte Achsen. Man definiert die Euler-Winkel φ , θ , ψ als die drei sukzessiven Drehwinkel. Hier wird die geläufigste Konvention zur Drehungsreihenfolge beschrieben:

  • Drehung des Vektors r um die x 3 -Achse im Anti-Uhrzeigersinn um den Winkel φ x ' 1 x ' 2 x ' 3 = cos φ - sin φ 0 sin φ cos φ 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 r ' = R z ( φ ) r
  • Drehung des Vektors r ' um die x 1 -Achse im Anti-Uhrzeigersinn um den Winkel θ x ' ' 1 x ' ' 2 x ' ' 3 = 1 0 0 0 cos θ - sin θ 0 sin θ cos θ x ' 1 x ' 2 x ' 3 r ' ' = R x ( θ ) r '
  • Drehung des Vektors r ' ' um die x 3 -Achse im Anti-Uhrzeigersinn um den Winkel ψ x ' ' ' 1 x ' ' ' 2 x ' ' ' 3 = cos ψ - sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 0 0 1 x ' ' 1 x ' ' 2 x ' ' 3 r ' ' ' = R z ( ψ ) r ' '

Also ist die gesamte Transformationsmatrix R das Produkt dreier Matrizen:

r ' ' ' = R r = R z ( ψ ) R x ( θ ) R z ( φ ) r

wobei

R = cos ψ cos φ - cos θ sin φ sin ψ - sin ψ cos φ - cos θ sin φ cos ψ sin θ sin φ cos ψ sin φ + cos θ cos φ sin ψ - sin ψ sin φ + cos θ cos φ cos ψ - sin θ cos φ sin θ sin ψ sin θ cos ψ cos θ

ist.

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