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Drehung von Vektoren in 2D- und 3D-Raum

Drehmatrizen - 3D-Raum

Wir betrachten im Folgenden die Matrizen, welche die Drehung eines Vektors um eine der drei Achsen des kartesischen Koordinatensystems beschreiben. Der Fall der Drehung eines Vektors in der x , y -Ebene um die z -Achse ist hier behandelt worden. Die Erweiterung für einen beliebigen Vektor r = ( x 1 , x 2 , x 3 ) im 3D-Raum ist einfach: die Drehung ändert nicht die Komponente in der z -Achse, es gilt x ' 3 = x 3 . Das lineare Gleichungssystem hat damit in der Indexschreibweise die Form

x ' 1 = cos θ x 1 - sin θ x 2 x ' 2 = sin θ x 1 + cos θ x 2 x ' 3 = x 3

Nun ergänzen wir in jeder Gleichung die fehlenden Glieder a i j x j des allgemeinen Gleichungssystems, die alle die Form 0 x j haben:

x ' 1 = cos θ x 1 - sin θ x 2 + 0 x 3 x ' 2 = sin θ x 1 + cos θ x 2 + 0 x 3 x ' 3 = 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3

Die Drehung eines Vektors r um die z -Achse mit dem Winkel θ lautet in der Matrixschreibweise demnach:

x ' 1 x ' 2 x ' 3 = cos θ - sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3

Auf der linken Seite steht der neue Vektor r ' , auf der rechten in der 3 × 3 -Anordnung die neun Koeffizienten des linearen Gleichungssystems, getrennt von den Komponenten des Anfangsvektors r . Der Vorteil der Matrixschreibweise ist deutlich: Sie ist kurz und lässt sofort erkennen, welche Zahlen die Drehung und welche den Anfangsvektor angeben.

Matrizen, die Drehungen beschreiben, werden mit D oder R (von Rotation) bezeichnet. Häufig wird dem Symbol noch die Drehachse als Index und der Drehwinkel in nachgestellten Klammern beigefügt. Eine Drehung um die z -Achse mit dem Winkel θ wird also durch die folgende Drehmatrix angegeben:

R z ( θ ) = cos θ - sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1

Das Matrixelement ( R z ) 33 = 1 zeigt an, dass die Komponente x 3 (also die z -Komponente im kartesischen Koordinatensystem) bei der Rotation unverändert bleibt.

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