Drehung von Vektoren - 2D-Raum

Der zu $\mathit{P}=(\mathit{x},\mathit{y})$ gehörende Vektor (blau) wird um den Winkel $\theta$ zu einer neuen Position $\mathit{P}\text{'}=(\mathit{x}\text{'},\mathit{y}\text{'})$ (rot) gedreht.

Nach der Definition der Kreisfunktionen ergibt sich

$$\begin{array}{rclcrcl}\mathit{x}& =& \mathit{r}cos\phi & & \mathit{x}\text{'}& =& \mathit{r}cos(\theta +\phi )\\ \mathit{y}& =& \mathit{r}sin\phi & & \mathit{y}\text{'}& =& \mathit{r}sin(\theta +\phi )\end{array}$$

Unter Verwendung der Additionstheoreme

$$\begin{array}{rcl}sin(\theta +\phi )& =& sin\theta \cdot cos\phi +cos\theta \cdot sin\phi \\ cos(\theta +\phi )& =& cos\theta \cdot cos\phi -sin\theta \cdot sin\phi \end{array}$$

erhält man

$$\begin{array}{rcl}\mathit{x}\text{'}& =& (\mathit{r}cos\phi )cos\theta -(\mathit{r}sin\phi )sin\theta \\ \mathit{y}\text{'}& =& (\mathit{r}cos\phi )sin\theta +(\mathit{r}sin\phi )cos\theta \end{array}$$

oder

$$\begin{array}{rcl}\mathit{x}\text{'}& =& \mathit{x}cos\theta -\mathit{y}sin\theta \\ \mathit{y}\text{'}& =& \mathit{x}sin\theta +\mathit{y}cos\theta \end{array}$$

In Matrixform lautet die Transformation

$$\left(\begin{array}{rcl}& \mathit{x}\text{'}& \\ & \mathit{y}\text{'}& \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}& \mathit{x}& \\ & \mathit{y}& \end{array}\right)$$

Die Matrix

$$\mathit{T}=\left(\begin{array}{rr}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right)$$

erzeugt eine Drehung um den Winkel $\theta$ im Anti-Uhrzeigersinn.