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Drehung von Vektoren in 2D- und 3D-Raum

Drehung von Vektoren - 2D-Raum

Der zu P = ( x , y ) gehörende Vektor (blau) wird um den Winkel θ zu einer neuen Position P ' = ( x ' , y ' ) (rot) gedreht.

Abb.1
Drehung eines Vektors

Nach der Definition der Kreisfunktionen ergibt sich

x = r cos φ x ' = r cos ( θ + φ ) y = r sin φ y ' = r sin ( θ + φ )

Unter Verwendung der Additionstheoreme

sin ( θ + φ ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ cos ( θ + φ ) = cos θ cos φ - sin θ sin φ

erhält man

x ' = ( r cos φ ) cos θ - ( r sin φ ) sin θ y ' = ( r cos φ ) sin θ + ( r sin φ ) cos θ

oder

x ' = x cos θ - y sin θ y ' = x sin θ + y cos θ

In Matrixform lautet die Transformation

x ' y ' = cos θ - sin θ sin θ cos θ x y

Die Matrix

T = cos θ - sin θ sin θ cos θ

erzeugt eine Drehung um den Winkel θ im Anti-Uhrzeigersinn.

Abb.2
Drehung
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