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Lineare Transformationen

Linearität der affinen Abbildung

Die affine Abbildung P ' = T ( P ) ist durch folgendes Gleichungssystem dargestellt:

x ' = a 11 x + a 12 y y ' = a 21 x + a 22 y .

Wir betrachten jetzt die Punkte P 1 = ( x 1 , y 1 ) und P 2 = ( x 2 , y 2 ) und erzeugen daraus einen dritten Punkt P = α P 1 + β P 2 = ( α x 1 + β x 2 , α y 1 + β y 2 ) . Transformieren wir den Punkt P in P ' mittels T , so erhalten wir:

x ' = a 11 ( α x 1 + β x 2 ) + a 12 ( α y 1 + β y 2 ) y ' = a 21 ( α x 1 + β x 2 ) + a 22 ( α y 1 + β y 2 )

oder

x ' = α ( a 11 x 1 + a 12 y 1 ) + β ( a 11 x 2 + a 12 y 2 ) y ' = α ( a 21 x 1 + a 22 y 1 ) + β ( a 21 x 2 + a 22 y 2 ) .

Dies ist

P ' = α T ( P 1 ) + β T ( P 2 ) ,

was die Eigenschaften einer linearen Transformation definiert:

Lineare Transformation
T ( α P 1 + β P 2 ) = α T ( P 1 ) + β T ( P 2 ) .

Mehrfache Transformationen

Bei mehrfachen Transformationen ist i. Allg. die Reihenfolge der Transformationen wichtig, d.h.

T 1 ( T 2 ( P ) ) T 2 ( T 1 ( P ) ) .

Dies ergibt sich aus der Nicht-Kommutativität der Matrix-Multiplikation.

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