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Lineare Transformationen

Allgemeine affine Abbildungen

Die Transformation P ' = T ( P ) , die durch das lineare Gleichungssystem

x ' = a x + b y y ' = c x + d y

dargestellt ist, bezeichnet man als affine Abbildung mit festliegendem Koordinatenursprung in zwei Dimensionen. Die Koeffizienten a , b , c , d sind Elemente einer invertierbaren Matrix

T = a b c d .

Berücksichtigt man auch eine Translation (Verschiebung) um einen konstanten Vektor t = e f , so lautet die allgemeine affine Abbildung in zwei Dimensionen:

x ' y ' = a b c d x y + e f

oder in Vektorform:

r ' = T r + t .

Im 3D-Raum wird eine affine Abbildung ausgedrückt durch:

x ' = a 11 x + a 12 y + a 13 z + b 1 y ' = a 21 x + a 22 y + a 23 z + b 2 z ' = a 31 x + a 32 y + a 33 z + b 3.

Eine affine Abbildung ist dadurch charakterisiert, dass Kollinearität erhalten ist, d.h.

  • alle auf eine Strecke liegenden Punkte bleiben auf der Strecke nach der Transformation, und
  • das Verhältnis der Längen von Strecken bleibt nach der Transformation erhalten, z.B. der Mittelpunkt einer Gerade bleibt der Mittelpunkt nach der Transformation.

Hingegen wird i. Allg. die Länge einer Strecke und der Winkel zwischen zwei Geraden nicht erhalten.

Eine isometrische Abbildung oder Isometrie liegt unter der Einschränkung vor, dass die Matrix T orthogonal ist, d.h. T T T = T T T = I . Längen (und Winkeln) bleiben dadurch erhalten.

Setzt man in der Matrix T b = c = 0 , so sind folgende Transformationstypen möglich:

Aufhebung der Beschränkung b = c = 0 ergibt:

  • Scherung b 0  und  c = 0 oder b = 0  und  c 0
  • Drehung (Isometrie) b 0  und  c 0
Abb.1
Affine Abbildung

In der Animation lassen sich zweidimensionale affine Abbildungen auf ein Rechteck visualisieren. Die Elemente a , b , c , d der Transformationsmatrix lassen sich frei auswählen und mit Hilfe des Parameters s auf die Abbildung anwenden:

T ( s = 0 ) = 1 0 0 1 und T ( s = 1 ) = a b c d .

Im Folgenden einige Fälle:

Tab.1
Affine Abbildungen
MatrixBemerkungen
-1 0 0 -1 Orthogonale Matrix. Isometrie. Spiegelung in y = x und dann in y = - x . Äquivalent zur Drehung um π .
1 -1 0 1 Keine Isometrie. x -Scherung.
0 1 0 0 Nicht invertierbar. Keine affine Abbildung.

Bemerkung: Bei der Kartenherstellung wird die Oberfläche der Erdkugel auf eine Ebene abgebildet. Diese Abbildung ist aber keine Isometrie, was Gauß bewies (als Theorema Egregium bekannt). Bei einer isometrischen Abbildung bleibt die Gauß´sche Krümmung erhalten, die für eine Kugel (Radius r ) 1 r 2 und eine Ebene gleich 0 ist.

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