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Funktionen von Matrizen

Differenziation und Integration von Matrizen

Gegeben sei eine m × n -Matrix A mit mindestens einmal nach t differenzierbaren Elementen a i j . Dann hat die erste Ableitung von A nach t die Elemente d a i j / d t , z.B. die erste Ableitung von

A = t e t sin t 1

nach t ist

d A d t = 1 e t cos t 0 .

Die entsprechende Produktregel ist

d A B d t = d A d t B + A d B d t .

Die Ableitungsregel

d d t ( f ( t ) ) n = n ( f ( t ) ) n -1 d f ( t ) d t

lässt sich i. Allg. auf Matrizen A ( t ) nicht anwenden, d.h.

d d t A n n A n -1 d A d t ,

wenn A und d A d t nicht kommutieren. Richtig ist dann

d d t A n = d d t ( A A A ) = d A d t A n -1 + A d A d t A n -2 + + A n -1 d A d t .

Die Ableitung von e A t für eine konstante Matrix A ermittelt man durchs gliedweise Differenzieren der Matrizenreihe:

e A t = I + t A + t 2 A 2 2 ! + t 3 A 3 3 ! + .

Man erhält (wegen d A d t = 0 ):

d d t e A t = A e A t = e A t A .

Das Integral von A ( t ) nach t hat die Elemente a i j ( t ) d t + C i j , wobei C i j beliebige Konstanten sind, z.B. das Integral von

A = t e t sin t 1

ist

A d t = t 2 / 2 e t - cos t t + C 11 C 12 C 21 C 22 .
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