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Funktionen von Matrizen

Das Matrixexponential

Das Matrixexponential

e A = I + A + A 2 2 ! + A 3 3 ! + = k = 0 A k k !

spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung von Systemen linearer Differenzialgleichungen. Es ist zu beachten, dass i. Allg.

{ e A } i j = e a i j

nicht gilt. Falls aber A diagonal ist, dann gilt .

Beispiel

Berechne e A mit

A = 2 0 0 1 .

Es ist

e A = e 2 0 0 e 1 .

Aus der Beziehung e x e - x = 1 folgt e A e - A = I . Somit ist

e A -1 = e - A ,

d.h. e A ist stets invertierbar für alle A . Insbesondere gilt

det e A = e Spur A .

Für x , y gilt

e x A e y A = e ( x + y ) A .

Aus der Beziehung e x e y = e x + y folgt nicht automatisch

e A e B = e A + B .

Da

e A + B = I + ( A + B ) + ( A + B ) 2 2 ! + ( A + B ) 3 3 ! +

ist, während

e A e B = I + A + A 2 2 ! + A 3 3 ! + I + B + B 2 2 ! + B 3 3 ! +

ist, ergibt sich:

e A + B - e A e B = 1 2 ( B A - A B ) + Glieder höherer Ordnung in ( B A - A B ) .

Folglich gilt nur für kommutative Matrizen

A B = B A .

Ist eine n × n -Matrix A diagonalisierbar, dann existiert eine invertierbare Matrix P , so dass

D = P -1 A P

oder

A = P D P -1 ,

ist. Dabei ist D eine Diagonalmatrix

D = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ n ,

λ 1 , λ 2 , , λ n sind die Eigenwerte von A . Die zweite Potenz von A ist gemäß

A 2 = P D P -1 P D P -1 = P D 2 P -1 .

Die k -te Potenz lautet i. Allg.:

A k = P D k P -1 .

Dann folgt aus

e A = P I + D + D 2 2 ! + D 3 3 ! + P -1 = P k = 0 D k k ! P -1 = P e D P -1 ,

mit

e D = e λ 1 0 0 0 e λ 2 0 0 0 e λ n ,

z.B.

e A t = P e λ 1 t 0 0 0 e λ 2 t 0 0 0 e λ n t P -1 .

Für eine Potenzreihe f ( x ) = k = 0 c k x k gilt i. Allg.:

f ( A ) = P k = 0 c k D k P -1 = P f ( D ) P -1 .
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