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Funktionen von Matrizen

Matrizenreihen

Analog zu Potenzreihen von Zahlen lassen sich Potenzreihen von Matrizen definieren.

Matrizenreihe
Eine Matrizenreihe für eine (quadratische) n × n -Matrix A mit reellen oder komplexen Elementen hat die Gestalt:
k = 0 c k A k .

Unter A k versteht man das k -fache Matrizenprodukt

A k = A A A .

A 0 ist die Einheitsmatrix I .

Die Matrizenreihe k = 0 c k A k konvergiert gegen eine Matrix S mit den Elementen s i j , i , j = 1 , 2 , , n , falls k = 0 { c k A k } i j für jedes Indexpaar i , j gegen s i j konvergiert. Konvergiert eine Potenzreihe k = 0 c k x k (Taylor-Reihe) gegen eine Funktion f ( x ) und liegen alle Eigenwerte der Matrix A innerhalb des Konvergenzkreises der komplexen Reihe f ( z ) = k = 0 c k z k , dann konvergiert auch die Matrizenreihe k = 0 c k A k gegen die Funktion f ( A ) . Z.B. konvergiert die Taylor-Reihe der Funktion f ( z ) = e z

1 + z + z 2 2 ! + z 3 3 ! +

für alle z gegen e z (und folglich gegen e x für alle z = x ). Somit gilt die Funktion

e A = I + A + A 2 2 ! + A 3 3 ! +

für alle Matrizen A . Die Funktion e A heißt das Matrixexponential.

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