Bestimmung der inversen Matrix: Gauß-Jordan-Verfahren

Das Gauß-Jordan-Verfahren beruht auf elementaren Zeilenumformungen einer Matrix:

• Vertauschung zweier Zeilen miteinander: $${\mathit{Z}}_{\mathit{i}}\leftrightarrow {\mathit{Z}}_{\mathit{j}}$$
• Multiplikation der Elemente einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl: $${\mathit{Z}}_{\mathit{i}}\to \alpha {\mathit{Z}}_{\mathit{i}}$$
• Addition eines beliebigen Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile: $${\mathit{Z}}_{\mathit{i}}\to {\mathit{Z}}_{\mathit{i}}+\alpha {\mathit{Z}}_{\mathit{j}}$$

Das Verfahren beschreibt folgender Satz:

Theorem

Mit Hilfe einer Sequenz elementarer Zeilenumformungen lässt sich die reguläre quadratische Matrix $\mathit{A}$ in die Einheitsmatrix überführen. Ist dann die gleiche Sequenz von elementaren Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix angewandt, so entsteht dadurch die inverse Matrix ${\mathit{A}}^{-1}$.

Beispiel

Bestimme die Inverse von

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{rr}4& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Zunächst wird aus $\mathit{A}$ und der $2\times 2$-Einheitsmatrix $\mathit{I}$ eine neue $2\times 4$-Matrix $(\mathit{A}|\mathit{I})$ gebildet:

$$(\mathit{A}|\mathit{I})=\left(\begin{array}{rrcrr}4& 1& |& 1& 0\\ 1& 0& |& 0& 1\end{array}\right).$$

Zeilen 1 und 2 werden miteinander vertauscht:

$${\mathit{Z}}_1\leftrightarrow {\mathit{Z}}_2\Rightarrow \left(\begin{array}{rrcrr}1& 0& |& 0& 1\\ 4& 1& |& 1& 0\end{array}\right).$$

Das Vierfache der ersten Zeile 1 wird von der zweiten Zeile subtrahiert:

$${\mathit{Z}}_2\to {\mathit{Z}}_2-4{\mathit{Z}}_1\Rightarrow \left(\begin{array}{rrcrr}1& 0& |& 0& 1\\ 0& 1& |& 1& -4\end{array}\right).$$

Daraus entsteht die gesuchte Umformung:

$$(\mathit{I}|{\mathit{A}}^{-1})=\left(\begin{array}{rrcrr}1& 0& |& 0& 1\\ 0& 1& |& 1& -4\end{array}\right).$$

Folglich ist die inverse Matrix:

$${\mathit{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ 1& -4\end{array}\right).$$