Inverse einer Matrix
Bestimmung der inversen Matrix: Gauß-Jordan-Verfahren
Das Gauß-Jordan-Verfahren beruht auf elementaren Zeilenumformungen einer Matrix:
- Vertauschung zweier Zeilen miteinander:
- Multiplikation der Elemente einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl:
- Addition eines beliebigen Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile:
Das Verfahren beschreibt folgender Satz:
- Theorem
- Mit Hilfe einer Sequenz elementarer Zeilenumformungen lässt sich die reguläre quadratische Matrix in die Einheitsmatrix überführen. Ist dann die gleiche Sequenz von elementaren Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix angewandt, so entsteht dadurch die inverse Matrix .
- Beispiel
Bestimme die Inverse von
Zunächst wird aus und der -Einheitsmatrix eine neue -Matrix gebildet:
Zeilen 1 und 2 werden miteinander vertauscht:
Das Vierfache der ersten Zeile 1 wird von der zweiten Zeile subtrahiert:
Daraus entsteht die gesuchte Umformung:
Folglich ist die inverse Matrix: