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Inverse einer Matrix

Bestimmung der inversen Matrix: Gauß-Jordan-Verfahren

Das Gauß-Jordan-Verfahren beruht auf elementaren Zeilenumformungen einer Matrix:

  • Vertauschung zweier Zeilen miteinander: Z i Z j
  • Multiplikation der Elemente einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl: Z i α Z i
  • Addition eines beliebigen Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile: Z i Z i + α Z j

Das Verfahren beschreibt folgender Satz:

Theorem
Mit Hilfe einer Sequenz elementarer Zeilenumformungen lässt sich die reguläre quadratische Matrix A in die Einheitsmatrix überführen. Ist dann die gleiche Sequenz von elementaren Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix angewandt, so entsteht dadurch die inverse Matrix A -1 .
Beispiel

Bestimme die Inverse von

A = 4 1 1 0 .

Zunächst wird aus A und der 2 × 2 -Einheitsmatrix I eine neue 2 × 4 -Matrix ( A | I ) gebildet:

( A | I ) = 4 1 | 1 0 1 0 | 0 1 .

Zeilen 1 und 2 werden miteinander vertauscht:

Z 1 Z 2 1 0 | 0 1 4 1 | 1 0 .

Das Vierfache der ersten Zeile 1 wird von der zweiten Zeile subtrahiert:

Z 2 Z 2 - 4 Z 1 1 0 | 0 1 0 1 | 1 -4 .

Daraus entsteht die gesuchte Umformung:

( I | A -1 ) = 1 0 | 0 1 0 1 | 1 -4 .

Folglich ist die inverse Matrix:

A -1 = 0 1 1 -4 .
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