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Inverse einer Matrix

Inverse Matrix

Bei der Rechnung mit reellen Zahlen besitzt jede reelle Zahl a 0 einen Kehrwert b = 1 a = a -1 , der als die zu a inverse Zahl bezeichnet wird:

a b = b a = 1.

In gleicher Weise kann eine quadratische Matrix A eine Inverse B = A -1 besitzen, so dass

A B = B A = I

gilt.

Hinweis
Die inverse Matrix A , wenn sie existiert, ist eindeutig.
Beispiel

Seien A und B 2 × 2 -Matrizen

A = 4 1 1 0 B = 0 1 1 -4 .

Die Multiplikation von A mit B ergibt:

A B = 4 1 1 0 0 1 1 -4 = 1 0 0 1 = I B A = 0 1 1 -4 4 1 1 0 = 1 0 0 1 = I .

Also ist B = A -1 , d.h. B die inverse Matrix von A .

Hinweis
Nicht-quadratische Matrizen besitzen keine Inverse.

Im Gegensatz zu den reellen Zahlen ist nicht jede quadratische Matrix A invertierbar.

Beispiel

Seien A und B 2 × 2 -Matrizen

A = 1 2 0 0 B = a b c d .

Welche Elemente a , b , c , d von B müssen wir wählen, so dass die Produkte A B und B A der Einheitsmatrix gleich sind?

A B = 1 2 0 0 a b c d = a +2 c b +2 d 0 0 = 1 0 0 1 B A = a b c d 1 2 0 0 = a 2 a c 2 c = 1 0 0 1

Da die letzten zwei Gleichungen zu Widersprüchen führen (z.B. 0 = 1 ), existiert keine inverse Matrix B = A -1 .

Hinweis
Die Inverse einer quadratischen Matrix A existiert nur dann, wenn A regulär, d.h. det A 0 ist. Singuläre Matrizen sind dagegen nicht invertierbar.

Eine äquivalente Aussage ist, dass eine invertierbare n × n -Matrix den Rang n hat. Dies bedeutet, dass ihre Zeilen- (oder Spaltenvektoren) für n eine Basis bilden.

Beispiel

Die oben erwähnte Matrix

A = 1 2 0 0

ist nicht invertierbar, da ihre Determinante verschwindet:

det A = 1 2 0 0 = 1 × 0 - 0 × 2 = 0.

Im Gegensatz zu den reellen Zahlen ist die Division von Matrizen nicht definiert. Die Multiplikation einer Matrix A mit einer inversen Matrix B -1 gilt im Allgemeinen als nicht kommutativ.

a b reelle Zahlen A B -1 oder B -1 A Matrizen
Hinweis
Es ist jedoch A A -1 = A -1 A = I , d.h. das Produkt ist kommutativ.

Eigenschaften

Theorem
( A B ) -1 = B -1 A -1 , ( A T ) -1 = ( A -1 ) T .
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