zum Directory-modus

Inverse einer Matrix

Bestimmung der inversen Matrix: Verwendung von Unterdeterminanten

Die inverse Matrix einer quadratischen n × n -Matrix A existiert, wenn ihre Determinante det A 0 ist. Sie kann in drei Schritten berechnet werden:

  1. Ersetzung jedes Elements a i j von A durch seine Adjunkte A i j : a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n A 11 A 12 A 1 n A 21 A 22 A 2 n A n 1 A n 2 A n n ; dabei ist A i j = ( -1 ) i + j D i j und D i j die Unterdeterminante zum Element a i j .
  2. Teilung jedes Elements der Matrix durch die Determinante von A : A 11 A 12 A 1 n A 21 A 22 A 2 n A n 1 A n 2 A n n 1 det A A 11 A 12 A 1 n A 21 A 22 A 2 n A n 1 A n 2 A n n .
  3. Transponierung der entstandenen Matrix: 1 det A A 11 A 12 A 1 n A 21 A 22 A 2 n A n 1 A n 2 A n n 1 det A A 11 A 21 A n 1 A 12 A 22 A n 2 A 1 n A 2 n A n n . Das Resultat ist die inverse Matrix A -1 .
Theorem
Die Inverse einer regulären n × n -Matrix ist gegeben durch:
A -1 = 1 det A A 11 A 21 A n 1 A 12 A 22 A n 2 A 1 n A 2 n A n n .
Beispiel
A = 4 1 1 0 .

Die Elemente der Adjunkte von A sind

A 11 = ( -1 ) 1 +1 | a 22 | = 0 A 12 = ( -1 ) 1 +2 | a 21 | = -1 A 21 = ( -1 ) 2 +1 | a 12 | = -1 A 22 = ( -1 ) 2 +2 | a 11 | = 4  .

Die Determinante von A ist

det A = 4 × 0 - 1 × 1 = -1.

Die Inverse ist

A -1 = 1 det A A 11 A 21 A 12 A 22 = 1 -1 0 -1 -1 4 = 0 1 1 -4 .
Hinweis
Die Verwendung der Determinanten-Methode ist für größere Matrizen schwerfällig und erfordert einen hohen Rechenaufwand. Sie ist daher nur von theoretischer Bedeutung. In der Praxis wird z.B. das Gauß-Jordan-Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix eingesetzt.
Seite 3 von 4