Bestimmung der inversen Matrix: Verwendung von Unterdeterminanten

Die inverse Matrix einer quadratischen $\mathit{n}\times \mathit{n}$-Matrix $\mathit{A}$ existiert, wenn ihre Determinante $\text{det}\mathit{A}\ne 0$ ist. Sie kann in drei Schritten berechnet werden:

1. Ersetzung jedes Elements ${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$ von $\mathit{A}$ durch seine Adjunkte ${\mathit{A}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$: $$\left(\begin{array}{rrrr}{\mathit{a}}_{11}& {\mathit{a}}_{12}& \cdots & {\mathit{a}}_{1\mathit{n}}\\ {\mathit{a}}_{21}& {\mathit{a}}_{22}& \cdots & {\mathit{a}}_{2\mathit{n}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{a}}_{\mathit{n}1}& {\mathit{a}}_{\mathit{n}2}& \cdots & {\mathit{a}}_{\mathit{n}\mathit{n}}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{rrrr}{\mathit{A}}_{11}& {\mathit{A}}_{12}& \cdots & {\mathit{A}}_{1\mathit{n}}\\ {\mathit{A}}_{21}& {\mathit{A}}_{22}& \cdots & {\mathit{A}}_{2\mathit{n}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{A}}_{\mathit{n}1}& {\mathit{A}}_{\mathit{n}2}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}\mathit{n}}\end{array}\right);$$dabei ist ${\mathit{A}}_{\mathit{i}\mathit{j}}=(-1{)}^{\mathit{i}+\mathit{j}}{\mathit{D}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$ und ${\mathit{D}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$ die Unterdeterminante zum Element ${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$.
2. Teilung jedes Elements der Matrix durch die Determinante von $\mathit{A}$: $$\left(\begin{array}{rrrr}{\mathit{A}}_{11}& {\mathit{A}}_{12}& \cdots & {\mathit{A}}_{1\mathit{n}}\\ {\mathit{A}}_{21}& {\mathit{A}}_{22}& \cdots & {\mathit{A}}_{2\mathit{n}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{A}}_{\mathit{n}1}& {\mathit{A}}_{\mathit{n}2}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}\mathit{n}}\end{array}\right)\to \frac{1}{\text{det}\mathit{A}}\left(\begin{array}{rrrr}{\mathit{A}}_{11}& {\mathit{A}}_{12}& \cdots & {\mathit{A}}_{1\mathit{n}}\\ {\mathit{A}}_{21}& {\mathit{A}}_{22}& \cdots & {\mathit{A}}_{2\mathit{n}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{A}}_{\mathit{n}1}& {\mathit{A}}_{\mathit{n}2}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}\mathit{n}}\end{array}\right)\text{.}$$
3. Transponierung der entstandenen Matrix: $$\frac{1}{\text{det}\mathit{A}}\left(\begin{array}{rrrr}{\mathit{A}}_{11}& {\mathit{A}}_{12}& \cdots & {\mathit{A}}_{1\mathit{n}}\\ {\mathit{A}}_{21}& {\mathit{A}}_{22}& \cdots & {\mathit{A}}_{2\mathit{n}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{A}}_{\mathit{n}1}& {\mathit{A}}_{\mathit{n}2}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}\mathit{n}}\end{array}\right)\to \frac{1}{\text{det}\mathit{A}}\left(\begin{array}{rrrr}{\mathit{A}}_{11}& {\mathit{A}}_{21}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}1}\\ {\mathit{A}}_{12}& {\mathit{A}}_{22}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{A}}_{1\mathit{n}}& {\mathit{A}}_{2\mathit{n}}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}\mathit{n}}\end{array}\right)\text{.}$$Das Resultat ist die inverse Matrix ${\mathit{A}}^{-1}$.

Theorem

Die Inverse einer regulären $\mathit{n}\times \mathit{n}$-Matrix ist gegeben durch:

$${\mathit{A}}^{-1}=\frac{1}{\text{det}\mathit{A}}\left(\begin{array}{rrrr}{\mathit{A}}_{11}& {\mathit{A}}_{21}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}1}\\ {\mathit{A}}_{12}& {\mathit{A}}_{22}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{A}}_{1\mathit{n}}& {\mathit{A}}_{2\mathit{n}}& \cdots & {\mathit{A}}_{\mathit{n}\mathit{n}}\end{array}\right).$$

Beispiel

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{rr}4& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{.}$$

Die Elemente der Adjunkte von $\mathit{A}$ sind

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{A}}_{11}& =& (-1{)}^{1\mathrm{+1}}|{\mathit{a}}_{22}|=0\\ {\mathit{A}}_{12}& =& (-1{)}^{1\mathrm{+2}}|{\mathit{a}}_{21}|=-1\\ {\mathit{A}}_{21}& =& (-1{)}^{2\mathrm{+1}}|{\mathit{a}}_{12}|=-1\\ {\mathit{A}}_{22}& =& (-1{)}^{2\mathrm{+2}}|{\mathit{a}}_{11}|=4\text{ .}\end{array}$$

Die Determinante von $\mathit{A}$ ist

$$\text{det}\mathit{A}=4\times 0-1\times 1=-1.$$

Die Inverse ist

$${\mathit{A}}^{-1}=\frac{1}{\text{det}\mathit{A}}\left(\begin{array}{rr}{\mathit{A}}_{11}& {\mathit{A}}_{21}\\ {\mathit{A}}_{12}& {\mathit{A}}_{22}\end{array}\right)=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{rr}0& -1\\ -1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ 1& -4\end{array}\right).$$

Hinweis

Die Verwendung der Determinanten-Methode ist für größere Matrizen schwerfällig und erfordert einen hohen Rechenaufwand. Sie ist daher nur von theoretischer Bedeutung. In der Praxis wird z.B. das Gauß-Jordan-Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix eingesetzt.