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Multiplikation von Matrizen

Multiplikation von Matrizen: Eigenschaften

Hier werden die Regeln für die Matrizenmultiplikation mit den entsprechenden Regeln für reelle Zahlen verglichen.

Multiplikation mit der Nullmatrix

Seien A und B 2 × 2 -Matrizen

A = a b c d , B = 0 0 0 0 .

B ist die Nullmatrix 0 . Multiplizieren wir A und B miteinander, so ergibt sich wieder die Nullmatrix 0 :

A 0 = 0 A = 0 .

Bei reellen Zahlen bedeutet das Produkt

a b = 0 ,

dass a = 0 oder b = 0 oder a = b = 0 ist. Bei Matrizen ist es dagegen anders. Gegeben seien z.B.

A = 1 1 1 1 , B = 1 -1 -1 1 .

Das Produkt von A und B ergibt:

A B = B A = 0 .

Multiplikation mit der Einheitsmatrix

Bei der Rechnung mit reellen Zahlen gilt für jede beliebige Zahl a :

a 1 = 1 a = a .

Bei der Matrixrechnung hat die Einheitsmatrix I die gleiche Funktion wie die reelle Einheit. Seien A und I 2 × 2 -Matrizen

A = a b c d , I = 1 0 0 1 .

Dann gilt

A I = I A = A .

Rechengesetze

Für die Matrizenmultiplikation gelten folgende Regeln:

Theorem
A ( B C ) = ( A B ) C .
Theorem
A ( B + C ) = A B + A C ,
( A + B ) C = A C + B C .
Theorem
( A B ) T = B T A T .
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