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Multiplikation von Matrizen

Multiplikation von Matrizen

Wir betrachten den Fall, dass in einem linearen Gleichungssystem A y = d ( i = 1 , 2 , , N ) die Unbekannten y i gemäß eines zweiten linearen Gleichungssystems y = B x von den Unbekannten x j ( j = 1 , 2 , , M ) abhängig sind. Für den Fall N = 2 und M = 3 sieht das so aus:

a 11 y 1 + a 12 y 2 = d 1 a 21 y 1 + a 22 y 2 = d 2

und

y 1 = b 11 x 1 + b 12 x 2 + b 13 x 3 y 2 = b 21 x 1 + b 22 x 2 + b 23 x 3

Wir können beide Gleichungssysteme vereinigen, indem wir im oberen System y i entsprechend des unteren Systems substituieren. In der Matrixschreibweise hat das die Form A B x = d , was ausgeschrieben so aussieht:

a 11 b 11 x 1 + b 12 x 2 + b 13 x 3 + a 12 b 21 x 1 + b 22 x 2 + b 23 x 3 = d 1 a 21 b 11 x 1 + b 12 x 2 + b 13 x 3 + a 22 b 21 x 1 + b 22 x 2 + b 23 x 3 = d 2

Ausmultiplizieren und -sortieren nach den Unbekannten x j ergibt:

a 11 b 11 + a 12 b 21 x 1 + a 11 b 12 + a 12 b 22 x 2 + a 11 b 13 + a 12 b 23 x 3 = d 1 a 21 b 11 + a 22 b 21 x 1 + a 21 b 12 + a 22 b 22 x 2 + a 21 b 13 + a 22 b 23 x 3 = d 2

Die Summen in den Klammern definieren die Koeffizienten c i j eines dritten Gleichungssystems C x = d

c 11 x 1 + c 12 x 2 + c 13 x 3 = d 1 c 21 x 1 + c 22 x 2 + c 23 x 3 = d 2 ,

in dem für die Koeffizientenmatrix C gilt:

c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 = a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 11 b 13 + a 12 b 23 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 a 21 b 13 + a 22 b 23 .

Die Koeffizienten c i j entstehen nach der allgemeinen Vorschrift:

c i j = k = 1 2 a i k b k j i = 1 , 2 und j = 1 , 2 , 3.

Dies führt zu einer natürlichen Definition der Matrix-Multiplikation. Da A B x = d = C x ist, bezeichnen wir C = A B als Produkt der beiden Matrizen A und B

C = A B = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 .
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