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Multiplikation von Matrizen

Multiplikation von Matrizen

Bei der Rechnung mit reellen Zahlen ist das Produkt zweier Zahlen a und b nicht nur stets definiert, sondern auch stets kommutativ, d.h.

a b = b a = c .

Das Produkt zweier Matrizen A und B ist dagegen nicht immer definiert, und wenn es definiert ist, trotzdem im Allgemeinen nicht kommutativ, d.h.

A B B A ,

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Abb.1
Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation

Multiplikation von Zeilen- und Spaltenmatrizen

Sei A eine 1 × 2 -Zeilenmatrix und B eine 2 × 1 -Spaltenmatrix:

A = a b B = c d .

Wir definieren das Produkt dieser zwei Matrizen als

A B = a b × c d = a c + b d ,

was nichts anderes ist als das Skalarprodukt zweier Vektoren in der Komponentendarstellung. Voraussetzung ist, dass die Spaltenanzahl der ersten Matrix A mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix B übereinstimmt.

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Abb.2
Multiplikation einer Zeilen- mit einer Spaltenmatrix

Tauschen wir die Reihenfolge der Faktoren um, so entsteht eine 2 × 2 -Matrix, also:

B A = c d × a b = c a c b d a d b .

Auch diese Multiplikation ist möglich, weil die Spaltenanzahl von B mit der Zeilenanzahl von A übereinstimmt.

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Abb.3
Multiplikation einer 2 × 3 -Matrix mit einer 3 × 2 -Matrix

Als Gegenbeispiel betrachten wir das Produkt der Matrizen

A = a b c und B = d e f g h i .

A B ist definiert, B A dagegen nicht.

Multiplikation von 2 × 2 -Matrizen

Seien A und B 2 × 2 -Matrizen:

A = a b c d , B = e f g h .

Wir bilden das Produkt A B , indem wir die Zeilen von A mit den Spalten von B wie oben multiplizieren:

A B = a b c d e f g h = a b e g a b f h c d e g c d f h = a e + b g a f + b h c e + d g c f + d h .

Das Resultat ist eine 2 × 2 -Matrix.

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Abb.4
Multiplikation zweier 2 × 2 -Matrizen
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