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Matrixoperationen

Transponierte und konjugiert Transponierte

Reelle und komplexe Matrizen werden separat behandelt.

Reelle Matrizen

Transponierte einer Matrix
Vertauscht man in einer Matrix A die Zeilen und Spalten miteinander, so erhält man die Transponierte A T der Matrix A :
A = a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2 a m n A T = a 11 a 21 a m 1 a 12 a 22 a m 2 a 1 n a 2 n a m n .

Zwischen den Elementen a i k einer Matrix A und den Elementen a i k T der transponierten Matrix A T besteht folgender Zusammenhang:

a i k T = a k i .
Beispiel
A = 1 -1 5 0 7 2 A T = 1 5 7 -1 0 2  .

Es ist klar, dass die in diesem Beispiel genannten Matrizen A und A T nicht gleich sein können, da sie von verschiedener Größe sind.

Symmetrische Matrix
Eine n -reihige, quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn
a i k = a k i i , k = 1 , 2 , , n
ist. Folglich gilt für eine symmetrische Matrix stets:
A T = A .
Schiefsymmetrische Matrix
Eine n -reihige, quadratische Matrix A heißt schiefsymmetrisch, wenn
a i k = - a k i i , k = 1 , 2 , , n
ist. Folglich gilt für eine schiefsymmetrische Matrix stets:
A T = - A .

Folgende Sätze gelten für das Transponieren von Matrizen:

Theorem
( A + B ) T = A T + B T  , ( A - B ) T = A T - B T  , ( A T ) T = A  , ( A B ) T = B T A T  .

Komplexe Matrizen

Konjugiert Transponierte einer Matrix
Ersetzt man jedes Element durch das konjugiert Komplexe der Transponierten der Matrix A , so erhält man die konjugiert Transponierte oder adjungierte Matrix A + zu A :
A = a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2 a m n A + = a 11 * a 21 * a m 1 * a 12 * a 22 * a m 2 * a 1 n * a 2 n * a m n * .

Zwischen den Elementen a i k einer Matrix A und den Elementen a i k + der konjugiert Transponierten A + besteht folgender Zusammenhang:

a i k + = a k i * .

Das Konjugieren und Transponieren sind miteinander vertauschbar:

A + = A * T = A T * .
Beispiel
A = 1 + i -2 i -3 i A + = 1 - i -3 2 i - i  .
Hermite´sche Matrix
Eine n -reihige, quadratische komplexe Matrix A heißt hermitesch, wenn
a i k = a k i * i , k = 1 , 2 , , n
ist. Folglich gilt für eine Hermite´sche Matrix stets:
A + = A .
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