Rang einer Matrix

Die $\mathit{m}$ $\mathit{n}$-dimensionalen Zeilenvektoren einer $\mathit{m}\times \mathit{n}$-Matrix $\mathit{A}$ bilden einen Unterraum eines $\mathit{n}$-dimensionalen Vektorraums, der auch als Zeilenraum bezeichnet ist. Zu letzterem gehören folgende Linearkombinationen von Zeilenvektoren:

$${\alpha }_1{\mathit{a}}^1+{\alpha }_2{\mathit{a}}^2+\dots +{\alpha }_{\mathit{m}}{\mathit{a}}^{\mathit{m}}\text{.}$$

Zeilenraum

Sei $\mathit{A}$ eine beliebige $\mathit{m}\times \mathit{n}$-Matrix. Der Zeilenraum ist der Unterraum von ${ℝ}^{\mathit{n}}$, der aus allen Linearkombinationen der $\mathit{m}$ Zeilenvektoren besteht.

Die Zeilenvektoren sind nicht unbedingt voneinander linear unabhängig. Steht eine Basis für den Zeilenraum zur Verfügung, dann lässt sich jeder Zeilenvektor als Linearkombination der Basisvektoren ${\mathit{b}}^1,{\mathit{b}}^2,\dots ,{\mathit{b}}^{\mathit{r}}$ schreiben:

$${\mathit{a}}^{\mathit{i}}={\alpha }_{\mathit{i}1}{\mathit{b}}^1+{\alpha }_{\mathit{i}2}{\mathit{b}}^2+\dots +{\alpha }_{\mathit{i}\mathit{r}}{\mathit{b}}^{\mathit{r}}\mathit{i}=1,2,\dots ,\mathit{m}.$$

Dabei ist $\mathit{r}$ die Dimension des Zeilenraums. Es gilt $\mathit{r}\le \mathit{n}$, da ein Zeilenvektor $\mathit{n}$ Komponenten enthält.

Rang

Sei $\mathit{A}$ eine beliebige $\mathit{m}\times \mathit{n}$-Matrix. Die Dimension $\mathit{r}$ des Zeilenraums heißt der Rang der Matrix ($\text{rg}\mathit{A}$).

Beispiel

Sei eine $3\times 2$-Matrix $\mathit{A}$ gegeben:

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{rr}8& 4\\ 2& 1\\ 0& 3\end{array}\right).$$

Die Zeilenvektoren von $\mathit{A}$ sind:

$${\mathit{a}}^1=\left(\mathit{8}4\right),{\mathit{a}}^2=\left(\mathit{2}1\right),{\mathit{a}}^3=\left(\mathit{0}3\right).$$

Eine Basis für den Zeilenraum ist

$${\mathit{b}}^1=\left(\mathit{2}1\right),{\mathit{b}}^2=\left(\mathit{0}3\right).$$

Die drei Zeilenvektoren lassen sich dann mittels der Basisvektoren wie folgt schreiben:

$${\mathit{a}}^1=4{\mathit{b}}^1,{\mathit{a}}^2={\mathit{b}}^1,{\mathit{a}}^3={\mathit{b}}^2.$$

Der Rang von $\mathit{A}$ ist $2$, da der Zeilenraum die Dimension $2$ hat.

In ähnlicher Weise lässt sich ein Spaltenraum von $\mathit{A}$ definieren. Der Spaltenraum wird von den $\mathit{n}$ $\mathit{m}$-dimensionalen Spaltenvektoren gebildet und ist ein Unterraum von einem $\mathit{m}$-dimensionalen Vektorraum, zu dem folgende Linearkombinationen von Spaltenvektoren gehören

$${\alpha }_1{\mathit{a}}_1+{\alpha }_2{\mathit{a}}_2+\dots +{\alpha }_{\mathit{n}}{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\text{ .}$$

Es ist eine Tatsache, dass der Zeilen- und Spaltenraum die gleiche Dimension haben wie der Rang $\mathit{r}$ von $\mathit{A}$.

Theorem

Sei $\mathit{A}$ eine beliebige $\mathit{m}\times \mathit{n}$-Matrix. Zeilen- und Spaltenraum haben die gleiche Dimension (gleich dem Rang der Matrix).

Die Dimension $\mathit{r}$ des Spaltenraums kann daher nicht größer als $\mathit{m}$ und zugleich nicht größer als $\mathit{n}$ sein. Daraus entsteht folgende Bedingung:

$$\mathit{r}\le \text{min}(\mathit{m},\mathit{n}).$$

Wie bestimmt man den Rang einer Matrix? Jede Matrix lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf eine Zeilenstufenform bringen (siehe Link). Von dieser lässt sich dann der Rang der originalen Matrix sofort ablesen.

Beispiel

Man führe bei obigem Beispiel

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{rr}8& 4\\ 2& 1\\ 0& 3\end{array}\right).$$

die folgenden Zeilenumformungen aus

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{Z}}_1\to {\mathit{Z}}_1-4{\mathit{Z}}_2& \Rightarrow & \left(\begin{array}{rr}0& 0\\ 2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\\ {\mathit{Z}}_1\leftrightarrow {\mathit{Z}}_3,{\mathit{Z}}_1\leftrightarrow {\mathit{Z}}_2& \Rightarrow & \left(\begin{array}{rr}2& 1\\ 0& 3\\ 0& 0\end{array}\right).\end{array}$$

So entsteht die zu $\mathit{A}$ zeilenäquivalente Matrix. Sie ist trapezförmig und enthält 2 von null verschiedene Zeilenvektoren. Somit beträgt $\text{rg}\mathit{A}=2$.