Rang einer Matrix
Rang einer Matrix
Die -dimensionalen Zeilenvektoren einer -Matrix bilden einen Unterraum eines -dimensionalen Vektorraums, der auch als Zeilenraum bezeichnet ist. Zu letzterem gehören folgende Linearkombinationen von Zeilenvektoren:
- Zeilenraum
- Sei eine beliebige -Matrix. Der Zeilenraum ist der Unterraum von , der aus allen Linearkombinationen der Zeilenvektoren besteht.
Die Zeilenvektoren sind nicht unbedingt voneinander linear unabhängig. Steht eine Basis für den Zeilenraum zur Verfügung, dann lässt sich jeder Zeilenvektor als Linearkombination der Basisvektoren schreiben:
Dabei ist die Dimension des Zeilenraums. Es gilt , da ein Zeilenvektor Komponenten enthält.
- Rang
- Sei eine beliebige -Matrix. Die Dimension des Zeilenraums heißt der Rang der Matrix ().
- Beispiel
Sei eine -Matrix gegeben:
Die Zeilenvektoren von sind:
Eine Basis für den Zeilenraum ist
Die drei Zeilenvektoren lassen sich dann mittels der Basisvektoren wie folgt schreiben:
Der Rang von ist , da der Zeilenraum die Dimension hat.
In ähnlicher Weise lässt sich ein Spaltenraum von definieren. Der Spaltenraum wird von den -dimensionalen Spaltenvektoren gebildet und ist ein Unterraum von einem -dimensionalen Vektorraum, zu dem folgende Linearkombinationen von Spaltenvektoren gehören
Es ist eine Tatsache, dass der Zeilen- und Spaltenraum die gleiche Dimension haben wie der Rang von .
- Theorem
- Sei eine beliebige -Matrix. Zeilen- und Spaltenraum haben die gleiche Dimension (gleich dem Rang der Matrix).
Die Dimension des Spaltenraums kann daher nicht größer als und zugleich nicht größer als sein. Daraus entsteht folgende Bedingung:
Wie bestimmt man den Rang einer Matrix? Jede Matrix lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf eine Zeilenstufenform bringen (siehe Link). Von dieser lässt sich dann der Rang der originalen Matrix sofort ablesen.
- Beispiel
Man führe bei obigem Beispiel
die folgenden Zeilenumformungen aus
So entsteht die zu zeilenäquivalente Matrix. Sie ist trapezförmig und enthält 2 von null verschiedene Zeilenvektoren. Somit beträgt .