Zeilen- und Spaltenvektoren einer Matrix

Die Zeilen und Spalten einer $\mathit{m}\times \mathit{n}$-Matrix

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{rrrr}{\mathit{a}}_{11}& {\mathit{a}}_{12}& \cdots & {\mathit{a}}_{1\mathit{n}}\\ {\mathit{a}}_{21}& {\mathit{a}}_{22}& \cdots & {\mathit{a}}_{2\mathit{n}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathit{a}}_{\mathit{m}1}& {\mathit{a}}_{\mathit{m}2}& \cdots & {\mathit{a}}_{\mathit{m}\mathit{n}}\end{array}\right)$$

können als Vektoren gedeutet werden. Die $\mathit{m}$ Zeilen von $\mathit{A}$ werden als Zeilenvektoren und die $\mathit{n}$ Spalten als Spaltenvektoren bezeichnet. Der von der $\mathit{j}$-ten Spalte gebildete Spaltenvektor ${\mathit{a}}_{\mathit{j}}$ besitzt $\mathit{m}$ Komponenten (gleich der Zeilenanzahl von $\mathit{A}$):

$${\mathit{a}}_{\mathit{j}}=\left(\begin{array}{rcl}& {\mathit{a}}_{1\mathit{j}}& \\ & {\mathit{a}}_{2\mathit{j}}& \\ & ⋮& \\ & {\mathit{a}}_{\mathit{m}\mathit{j}}& \end{array}\right).$$

Der von der $\mathit{i}$-ten Zeile gebildete Zeilenvektor ${\mathit{a}}^{\mathit{i}}$ besitzt $\mathit{n}$ Komponenten (gleich der Spaltenanzahl von $\mathit{A}$):

$${\mathit{a}}^{\mathit{i}}=\left({\mathit{a}}_{\mathit{i}1}{\mathit{a}}_{\mathit{i}2}\cdots {\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{n}}\right).$$

Folglich lässt sich $\mathit{A}$ äquivalent als ein $\mathit{m}$-dimensionaler Spaltenvektor von ihren $\mathit{n}$-dimensionalen Zeilenvektoren oder als ein $\mathit{n}$-dimensionaler Zeilenvektor von ihren $\mathit{m}$-dimensionalen Spaltenvektoren darstellen:

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{rcl}& {\mathit{a}}^1& \\ & {\mathit{a}}^2& \\ & ⋮& \\ & {\mathit{a}}^{\mathit{m}}& \end{array}\right)=\left({\mathit{a}}_1{\mathit{a}}_2\cdots {\mathit{a}}_{\mathit{n}}\right).$$

Beispiel

Sei eine $3\times 2$-Matrix $\mathit{A}$ gegeben:

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{rr}8& 4\\ 2& 1\\ 0& 3\end{array}\right).$$

Die Zeilenvektoren von $\mathit{A}$ sind:

$${\mathit{a}}^1=\left(84\right),{\mathit{a}}^2=\left(21\right),{\mathit{a}}^3=\left(03\right).$$

Die Spaltenvektoren von $\mathit{A}$ sind:

$${\mathit{a}}_1=\left(\begin{array}{rcl}& 8& \\ & 2& \\ & 0& \end{array}\right),{\mathit{a}}_2=\left(\begin{array}{rcl}& 4& \\ & 1& \\ & 3& \end{array}\right).$$