zum Directory-modus

Matrizen - Definition, Formen und Typen

Einführung

Startpunkt der Betrachtung ist das lineare Gleichungssystem

1 x + 2 y + 4 z = 5 2 x - 1 y + 1 z = 3 4 x - 3 y - 5 z = 7.

Drei verschiedene Größentypen aller solcher Systeme sind erkennbar: die Unbekannten ( x , y , z , w ), die Zahlen auf der rechten Seiten und die Koeffizienten der Unbekannten. Wir können diese drei Größentypen durch eine jeweilig rechteckige Anordnung ihrer Elemente (auch als Array bezeichnet) getrennt darstellen:

1 2 4 2 -1 1 4 -3 -5 x y z = 5 3 7 .

In dieser Schreibweise nimmt das Gleichungssystem eine sehr übersichtliche Form an. Die drei geklammerten rechteckigen Zahlen- bzw. Unbekannten-Anordnungen werden als Matrizen bezeichnet. Die Koeffizienten bilden eine quadratische Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten, die Unbekannten und die rechten Seiten eine Rechteckmatrix mit drei Zeilen und einer Spalte. Die Koeffizientenmatrix

1 2 4 2 -1 1 4 -3 -5

und die Rechtechtmatrix der rechten Seiten enthalten die wesentliche Information des Gleichungssystems. Die verwendeten Symbole für die Unbekannten ( x , y , z ) sind beliebig wählbar und haben keinen Einfluss auf die Lösung des Systems. Sie könnten auch mit den Buchstaben a,b und c oder indizierte x-Buchstaben notiert werden (siehe Animation).

Es stellt sich die Frage, wie aus der Matrixschreibweise (2) eines Gleichungssystems die eingangs aufgeführte explizite Notierung (1) in Einzelgleichungen entsteht. Dies geschieht durch Multiplikation jedes Spaltenelements einer Zeile der Koeffizientenmatrix mit dem entsprechenden Zeilenelement der Unbekanntenmatrix und Summation der drei Ergebnisse. Diese Rechenschritte werden für alle drei Zeilen der Koeffizientenmatrix wiederholt. Sie werden allgemein als Matrizenmultiplikation bezeichnet. Hier ist es also eine für eine 3x3-Matrix mit einer 3x1-Matrix, die zu einer neuen 3x1-Matrix mit drei Zeilen und einer Spalte führt. Jedes ihrer Zeilenelement wird dem entsprechenden Zeilenelement der 3x1-Matrix der rechten Seite in (2) gleichgesetzt. Die nachfolgenden Animation verdeutlicht die Vorgehensweise..

Bitte Flash aktivieren.

Abb.1
Der Matrixbegriff
<Seite 1 von 3