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Gauß'sches Eliminationsverfahren

Gauß'sche Eliminierung

Wir betrachten folgendes lineares Gleichungssystem:

5 0 0 0 2 0 0 0 4 x 1 x 2 x 3 = 15 2 -8 oder A x = c .

Das System lässt uns die Lösung sofort ablesen, da die Koeffizientenmatrix A diagonal ist:

x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = -2 .

Betrachten wir nun ein anderes lineares Gleichungssystem:

2 -2 1 0 1 2 0 0 2 x 1 x 2 x 3 = 2 5 -4 .

Die letzte Gleichung liefert sofort die Lösung x 3 = -2 . Nach Substitution von x 3 in die zweite Gleichung erhält man x 2 = 5 - 2 x 3 = 9 . Aus der ersten Gleichung entsteht dann 2 x 1 = 2 + 2 x 2 - x 3 = 22 oder x 1 = 11 . Damit ist das System gelöst:

x 1 = 11 , x 2 = 9 , x 3 = -2 .

Die Lösung ist besonders leicht zu ermitteln, da die Koeffizientenmatrix A dreieckförmig ist. Dieses Lösungsverfahren heißt Rückwärtssubstitution.

Im Allgemeinen ist das Gleichungssystem so gestaltet, dass eine Lösung durch Rückwärtssubstitution nicht direkt anwendbar ist:

a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2 a m n x 1 x 2 x n = c 1 c 2 c m oder A x = c .

Trotzdem lässt sich das System mittels spezieller Umformungen (elementare Zeilenumformungen) in Dreiecksform überführen, wobei die Lösung des Originalsystems erhalten bleibt.

Im ersten Schritt werden die Koeffizienten a i j und die Absolutglieder c i in eine m × ( n + 1 ) Matrix (die erweiterte Koeffizientenmatrix) zusammengefasst.

Erweiterte Koeffizientenmatrix
Die erweiterte Koeffizientenmatrix entsteht aus der Koeffizientenmatrix A durch Hinzufügen einer weiteren Spalte mit den Absolutgliedern c 1 , c 2 , , c n :
( A | c ) = a 11 a 12 a 1 n | c 1 a 21 a 22 a 2 n | c 2 | a m 1 a m 2 a m n | c n .

In den nächsten Schritten wird die erweiterte Koeffizientenmatrix mittels elementaren Zeilenumformungen in trapezförmige Gestalt überführt, aus der sich die Lösung durch Rückwärtssubstitution ermitteln lässt.

Beispiel
1 2 4 2 -1 1 4 -3 -5 x 1 x 2 x 3 = 5 3 7 .

Die erweiterte Koeffizientenmatrix sieht dann so aus:

1 2 4 | 5 2 -1 1 | 3 4 -3 -5 | 7 .

Zuerst wird x 1 von der zweiten und dritten Zeile eliminiert:

Z 2 Z 2 - 2 Z 1 1 2 4 | 5 0 -5 -7 | -7 4 -3 -5 | 7 Z 3 Z 3 - 4 Z 1 1 2 4 | 5 0 -5 -7 | -7 0 -11 -21 | -13 .

Dann wird x 2 von der dritten Zeile eliminiert:

Z 2 - 11 Z 2 / 5 1 2 4 | 5 0 11 77 / 5 | 77 / 5 0 -11 -21 | -13 Z 3 Z 3 + Z 2 1 2 4 | 5 0 11 77 / 5 | 77 / 5 0 0 -28 / 5 | 12 / 5 .

Schließlich werden die zweite und dritte Zeile mit 5 multipliziert, um die Brüche zu entfernen:

1 2 4 | 5 0 55 77 | 77 0 0 -28 | 12 .

Die dritte Zeile liefert x 3 :

-28 x 3 = 12 x 3 = -3 / 7 .

Durch Substitution von x 3 liefert die zweite Zeile x 2 :

55 x 2 + 77 x 3 = 77 x 2 = 2 .

Schließlich liefert durch Substitution von x 2 und x 3 die erste Zeile x 1 :

x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 5 x 1 = 19 / 7 .

Damit ist das System gelöst:

x 1 = 19 / 7 , x 2 = 2 , x 3 = -3 / 7 .
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