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Gauß'sches Eliminationsverfahren

Transformation einer Matrix in eine Zeilenstufenform

Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen lässt sich eine m × n Matrix A in eine spezielle Gestalt überführen. Das Verfahren heißt Gauß'sche Eliminierung.

A = a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2 a m n B = b 11 b 12 b 1 r | b 1 , r +1 b 1 , r +2 b 1 n 0 b 22 b 2 r | b 2 , r +1 b 2 , r +2 b 2 n | 0 0 b r , r | b r , r +1 b r , r +2 b r n - - - - - - - - - 0 0 0 | 0 0 0 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 .

Die gestrichelten Linien in der Matrix B sind ein Hilfsmittel, das dem besseren Verständnis ihrer Struktur dient. Die m × n trapezförmige Matrix B besitzt folgende Eigenschaften:

  • Die letzten m - r Zeilen von B sind Nullzeilen (sie enthalten nur Nullen). Die verbleibende Restmatrix besitzt r Zeilen und n Spalten.
  • Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen der Restmatrix sind null.
  • Die Hauptdiagonalelemente b i i , i = 1 , , r der Restmatrix sind ungleich null.

Die Form der Matrix B wird als Zeilenstufenform bezeichnet. Die Zeilenanzahl der Restmatrix ist bedeutsam und ist dem Rang r der Matrix A gleich.

Beispiel

Sei A eine 3 × 4 Matrix:

A = 1 3 -5 0 2 7 -8 7 -1 0 11 21 .

Führt man die folgenden Zeilenumformungen aus

Z 2 Z 2 - 2 Z 1 1 3 -5 0 0 1 2 7 -1 0 11 21 Z 3 Z 3 + Z 1 1 3 -5 0 0 1 2 7 0 3 6 21 Z 3 Z 3 - 3 Z 2 1 3 -5 0 0 1 2 7 0 0 0 0 ,

so entsteht die zu A zeilenäquivalente trapezförmige Matrix

B = 1 3 -5 0 0 1 2 7 0 0 0 0 .

Ihr Rang beträgt rg A = 2 .

Bestimmung der Determinante

Ist die Matrix A quadratisch ( m = n ) , dann lässt sich die Determinante A von B bestimmen. Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

  • r = n : A ist regulär, d.h. det A = b 11 b 22 b n n 0 .
  • r < n : A ist singulär, d.h. det A = 0 .
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