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Gauß'sches Eliminationsverfahren

Elementare Zeilenumformungen einer Matrix

Sei A eine beliebige Matrix. Drei Zeilenumformungen werden hier eingeführt, die wichtig für die Lösung von linearen Gleichungssystemen sind:

  • Vertauschen von zwei Zeilen miteinander: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 Hier wird die zweite Zeile mit der dritten Zeile umgetauscht. Die Schreibweise dafür ist Z 2 Z 3 .
  • Multiplikation der Elemente einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 α a 31 α a 32 α a 33 Hier wird die dritte Zeile mit dem Skalar α multipliziert. Die Schreibweise dafür ist Z 3 α Z 3 .
  • Addition eines beliebigen Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 + α a 11 a 22 + α a 12 a 23 + α a 13 a 31 a 32 a 33 Hier wird zur zweiten Zeile ein Vielfaches (Faktor α ) der ersten Zeile hinzugefügt. Die Schreibweise dafür ist Z 2 Z 2 + α Z 1 .

Diese drei Zeilenumformungen lassen sich äquivalent als lineare Operationen auf die Zeilenvektoren von A deuten. Seien a 1 , a 2 , , a m die Zeilenvektoren von A . Die Wirkung der Zeilenumformungen auf die Zeilenvektoren sind:

  • Vertauschen: a i a j
  • Multiplikation: a i α a i
  • Addition: a i a i + α a j

Der Zeilenraum von A besteht aus beliebigen Linearkombinationen ihrer Zeilenvektoren:

α 1 a 1 + α 2 a 2 + + α m a m .

Diese Operationen nehmen keinen Einfluss auf den Zeilenraum von A und auf seine Dimension.

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