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Lösung linearer Gleichungssysteme

Homogenes System

Wir betrachten ein lineares ( m , n ) -System

A x = 0 .

Hier wird die Koeffizientenmatrix A durch elementare Zeilenumformungen in ein äquivalent-gestaffeltes System der Form

b 11 b 12 b 1 r | b 1 , r +1 b 1 , r +2 b 1 n 0 b 22 b 2 r | b 2 , r +1 b 2 , r +2 b 2 n | 0 0 b r , r | b r , r +1 b r , r +2 b r n - - - - - - - - - 0 0 0 | 0 0 0 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 x 1 x 2 x n = 0 0 0

oder

B x = 0

überführt (Gauß´sche Eliminierung). Dieses gestaffelte System besitzt dieselbe Lösung wie das originale System. Hier ist r min ( m , n ) gleich dem Rang der Matrix A (und B ).

Das Lösungsverhalten des Systems lässt sich aus dem äquivalent-gestaffelten System ermitteln. Es ergeben sich zwei Möglichkeiten:

  • r = n : triviale Lösung x = 0 .
  • r < n : unendlich viele Lösungen x = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n - r v n - r . Die Lösung ist eine Linearkombination aus n - r konstanten Vektoren v 1 , v 2 , , v n - r mit n - r frei wählbaren Konstanten α 1 , α 2 , , α n - r .
Hinweis
Die Lösungsvektoren x von A x = 0 bilden einen Vektorraum, dessen Dimension die Anzahl der Unbekannten minus rg A ist.

Bei einem quadratischen System ist eine nichttriviale Lösung möglich, falls det A = 0 . Dieses ist äquivalent zu r < n .

Beispiel

Gegeben sei das homogene System

2 x 1 + 4 x 2 = 0 1 x 1 + 2 x 2 = 0 oder A x = 0 .

Die erweiterte Koeffizientenmatrix von lautet:

( A | c ) = 2 4 | 0 1 2 | 0

Nach der Durchführung der elementaren Zeilenumformung Z 2 2 Z 2 - Z 1 erhält man die folgende äquivalent-erweiterte Koeffizientenmatrix

( B | 0 ) = 2 4 | 0 0 0 | 0

bzw. das äquivalente gestaffelte System

2 x 1 + 4 x 2 = 0 0 x 1 + 0 x 2 = 0 oder B x = 0 .

Aus ermittelt man rg A = r = 1 < 2 , woraus folgt, dass das System unendlich viele Lösungen mit einer ( n - r = 1 ) frei wählbaren Konstante hat. Aus der ersten Zeile von ergibt sich

2 x 1 + 4 x 2 = 0 .

Setzt man x 1 = α (frei wählbare Konstante), dann ist x 2 = -0,5 α und die Lösung von lautet

x = x 1 x 2 = α 1 -0,5 = α v .

Merke, dass auch (für α = 0 ) die triviale Lösung x 1 x 2 = 0 0 enthält.

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