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Lösung linearer Gleichungssysteme

Inhomogenes System

Wir betrachten das lineare ( m , n ) -System

A x = c .

Hier werden die Koeffizientenmatrix A und die Absolutglieder c durch elementare Zeilenumformungen in ein äquivalent-gestaffeltes System der Form

b 11 b 12 b 1 r | b 1 , r +1 b 1 , r +2 b 1 n 0 b 22 b 2 r | b 2 , r +1 b 2 , r +2 b 2 n | 0 0 b r , r | b r , r +1 b r , r +2 b r n - - - - - - - - - 0 0 0 | 0 0 0 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 | 0 0 0 x 1 x 2 x n = d 1 d 2 d r - d r +1 d r +2 d m

oder

B x = d

überführt (Gauß´sche Eliminierung). Hier ist r min ( m , n ) gleich dem Rang der Matrix A (und B ). Durch elementare Zeilenumformungen ändert sich die Lösung und das Lösungsverhalten des Systems nicht, da alle Umformungen lineare Operationen sind. Man berechnet die Unbekannten sukzessiv von unten nach oben (sukzessive Eliminierung oder Rückwärtssubstitution der Unbekannten).

Das Lösungsverhalten des Systems lässt sich aus dem äquivalent-gestaffelten System ermitteln. Das System ist

  • lösbar, wenn die Zahlen d r +1 , d r +2 , , d m gleich null sind.
  • eindeutig bestimmt, wenn r = n .
  • unbestimmt, wenn r < n . Die Lösung enthält n - r frei wählbare Konstanten.
  • nicht lösbar, wenn eine der Zahlen d r +1 , d r +2 , , d m verschieden von null ist, so entstehen widersprüchliche Gleichungen der Form 0 x 1 + 0 x 2 + + 0 x n = d 0 = d 0 und das System besitzt keine Lösung.

Diese Aussage über die Lösbarkeit eines homogenen linearen Systems lässt sich auch durch folgenden Satz formulieren:

Theorem
Ein lineares ( m , n ) -System ist nur lösbar, wenn die Koeffizientenmatrix A und die erweiterte Koeffizientenmatrix ( A | c ) ranggleich sind:
rg A = rg ( A | c ) = r .

Im Falle der Lösbarkeit sind folgende Fälle zu unterscheiden:

  • r = n : es gibt genau eine Lösung.
  • r < n : es gibt unendlich viele Lösungen mit n - r frei wählbaren Parametern.
Beispiel

Gegeben sei das inhomogene System

2 x 1 + 4 x 2 = 2 1 x 1 + 2 x 2 = 2 oder A x = c .

Die erweiterte Koeffizientenmatrix von lautet

( A | c ) = 2 4 | 2 1 2 | 2

Nach der Durchführung der elementaren Zeilenumformung Z 2 2 Z 2 - Z 1 erhält man die äquivalent-erweiterte Koeffizientenmatrix

( B | d ) = 2 4 | 2 0 0 | 2

bzw. das äquivalent-gestaffelte System

2 x 1 + 4 x 2 = 2 0 x 1 + 0 x 2 = 2 oder B x = d

Aus ermittelt man rg A = r = 1 , und wegen d r +1 = d 2 = 2 0 ist das System unlösbar, d.h. die letzte Zeile von stellt einen Widerspruch ( 0 = 2 ) dar.

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