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Lösung linearer Gleichungssysteme

Inkonsistente Systeme

Wir betrachten das folgende inhomogene System:

2 x 1 + 4 x 2 = 2 1 x 1 + 2 x 2 = 2 oder A x = c .

Laut der Cramer´schen Regel ist die Lösung von unbestimmt.

x 1 = 2 4 2 2 2 4 1 2 = -4 0 = ? , x 2 = 2 2 1 2 2 4 1 2 = 2 0 = ? .

Man sagt, das System sei inkonsistent, es besitzt daher keine Lösung. Trotzdem kann man eine angenährte Lösung finden, indem man den Ausdruck

S = | A x - c | 2 = ( 2 x 1 + 4 x 2 - 2 ) 2 + ( x 1 + 2 x 2 - 2 ) 2

nach den Variablen x 1 und x 2 minimiert, was als die Methode der kleinsten Quadrate bekannt ist.

Bilden wir die ersten partiellen Ableitungen der Funktion S ( x 1 , x 2 ) in , so erhalten wir

S x 1 = 10 x 1 + 20 x 2 - 12 S x 2 = 20 x 1 + 40 x 2 - 24.

Eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Minimums von S ( x 1 , x 2 ) ist

S x 1 = S x 2 = 0 .

Setzen wir beide Gleichungen in gleich null, so ergibt sich das lineare Gleichungssystem:

10 x ^ 1 + 20 x ^ 2 = 12 20 x ^ 1 + 40 x ^ 2 = 24.

Da die zweite Zeile in das Zweifache der ersten Zeile ausmacht, ist das System lösbar, es hat aber unendlich viele Lösungen. Setzt man x ^ 2 = α , α beliebig, dann erhält man

x ^ 1 = - 2 α + 6 5 , x ^ 2 = α ,

was einer Geradengleichung in Parameterform entspricht. Aus und ergibt sich

S ( x ^ 1 , x ^ 2 ) = | A x ^ - c | 2 = 4 5 .

Daraus entnehmen wir, dass S ( x 1 , x 2 ) kein globales Minimum hat, vielmehr liegen die Minima auf der durch gegebenen Gerade.

Abb.1
Minimum von S ( x 1 , x 2 )

Ersetzen wir die Lösung der kleinsten Quadrate in , so erhalten wir

A x ^ = 2 4 1 2 - 2 α + 6 5 α = 6 5 2 1 = c ^ .

Was ist der Vektor c ^ ? Die Spaltenvektoren a 1 = 2 1 und a 2 = 4 2 von A in gehören zu einem eindimensionalen Vektorraum (Spaltenraum), da a 2 das Zweifache von a 1 ist. Gleichung ist äquivalent zum folgenden Ausdruck:

x 1 2 1 + x 2 4 2 = 2 2 .

Dieser Ausdruck kann für die Unbekannten x 1 , x 2 nie erfüllt sein, da der Vektor der Absolutglieder c = 2 2 nicht zum Spaltenraum von A gehört. Im Gegensatz zu c gehört aber der Vektor c ^ zum Spaltenraum von A . Folglich ist

x 1 2 1 + x 2 4 2 = 6 5 2 1

lösbar mit der Lösung . c ^ ist die Komponente von c in der durch den Spaltenraum von A gegebenen Richtung. Ist e ein Einheitsvektor des Spaltenraums von A , dann ist

c ^ = ( e c ) e .

Mit e = ( 1 / 5 ) 2 1 ist e c = 1 / 5 ( 2 2 + 1 2 ) = 6 / 5 . Folglich ist

c ^ = 6 5 1 5 2 1 = 6 5 2 1 ,

wie es benötigt wird. c ^ ist die orthogonale Projektion des Vektors c auf den Spaltenraum von A , d.h.

( c ^ - c ) c ^ = 0.

Letzteres wird durch folgendes Applet veranschaulicht:

Abb.2
Kleinste-Quadrate-Lösung
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