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Lösung linearer Gleichungssysteme

Schlecht konditionierte Systeme

Wir betrachten das folgende inhomogene System:

3 x 1 + 1,52 x 2 = 1 2 x 1 + 1,02 x 2 = 1 oder A x = c .

Gemäß der Cramer´schen Regel hat die Lösung

x 1 = 1 1,52 1 1,02 3 1,52 2 1,02 = -0,5 0,02 = -25

und

x 2 = 3 1 2 1 3 1,52 2 1,02 = 1 0,02 = 50 .

Nun ändern wir den Koeffizienten a 22 von A um δ = 0,01 ( 1  % -Änderung in a 22 ), so dass die neue Lösung lautet:

x 1 = 1 1,52 1 1,03 3 1,52 2 1,03 = -0,49 0,05 = -9,8

und

x 2 = 3 1 2 1 3 1,52 2 1,03 = 1 0,05 = 20 .

Man sieht, dass die Lösung um circa 60  % geändert wurde. Das System ist sehr empfindlich gegen Änderungen in seinen Koeffizienten. Man sagt, das System sei schlecht konditioniert.

Die Empfindlichkeit lässt sich durch das folgende Applet veranschaulichen:

Abb.1
Schlecht konditioniertes System
Abb.2
Schlecht konditioniertes System

Bei einem schlecht konditionierten System kann man sich auf die Lösung nicht verlassen.

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