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Lösung linearer Gleichungssysteme

Matrizenschreibweise linearer Gleichungssysteme

Für ein lineares quadratisches Gleichungssystem

a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = c 2 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + + a n n x n = c n

ist das Grundmotto immer gleich:

Hinweis
n -mal multiplizieren und ( n -1 ) -mal addieren für jede der n Gleichungszeilen.

Von Fall zu Fall verschieden sind dagegen die Werte a i k und x k . Es liegt daher nahe, das lineare System der n Gleichungen so zu schreiben, dass die wesentlichen Merkmale - also die Werte a i k und x k - getrennt und leicht überschaubar sind.

Die Grundidee für eine solche neue Schreibweise basiert darauf, dass jede Zeile des linearen Systems als Skalarprodukt von Vektoren aufgefasst werden kann. Zur Veranschaulichung betrachten wir den einfachsten Fall n = 2 :

a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2.

Wir denken uns die Koeffizienten a 11 und a 12 (1. Gleichung) und a 21 und a 22 (2. Gleichung) als Zeilenvektoren und die Unbekannten x 1 , x 2 und die rechten Seiten c 1 , c 2 des Systems als Spaltenvektoren. Das sieht dann so aus:

  • 1. Gleichung: a 11 a 12 x 1 x 2 = c 1 oder kurz k = 1 2 a 1 k x k = c 1
  • 2. Gleichung a 21 a 22 x 1 x 2 = c 2 oder kurz k = 1 2 a 2 k x k = c 2.

Nun kombinieren wir beide Gleichungen, indem wir einfach die Komponenten der beiden Zeilenvektoren a 11 , a 12 bzw. a 21 , a 22 zwischen zwei großen Klammern untereinander schreiben. Das sieht dann so aus:

Matrizenschreibweise
a 11 a 12 a 21 a 22 x 1 x 2 = c 1 c 2 .

Das quadratische Zahlengebilde aus den vier Koeffizienten a i k ist weder ein Skalar noch ein Vektor. Es wird als quadratische Matrix A bezeichnet:

A = a 11 a 12 a 21 a 22 .

Mit ihrer Definition haben wir unser oben gestecktes Ziel erreicht: Mit einem Blick ist ersichtlich, welcher Art die Koeffizienten des Gleichungssystems sind. Schreiben wir nun die Symbole für die Matrix A und Vektoren x , c auf, so entsteht die kürzeste - und von der Dimension n unabhängige - Notierung eines linearen Systems von Gleichungen:

A x = c .

In Komponentenschreibweise mit Summationszeichen hat die Gleichung die Form

k = 1 n a i k x k = c i i = 1 , 2 , , n .

Das Konzept der quadratischen Matrizen lässt sich auf Rechteckmatrizen erweitern. Sie sind entsprechend eine Anordnung m × n Zahlen in n Spalten und m Zeilen. Sie entstehen beispielsweise, wenn die n Unbekannten x durch ein lineares Gleichungssystem mit von m n Gleichungen verknüpft sind

a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2 a m n x 1 x 2 x n = c 1 c 2 c m oder A x = c .
Beispiel

Ein unterbestimmtes inhomogenes lineares Gleichungssystem

1 -1 2 0 1 6 x 1 x 2 x 3 = -4 0 .
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