Allgemeine Betrachtungen

Wir betrachten ein System von $\mathit{m}$ linearen Gleichungen in $\mathit{n}$ Unbekannten - kurz als lineares $(\mathit{m},\mathit{n})$-System bezeichnet:

$$\begin{array}{ccc}{\mathit{a}}_{11}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{12}{\mathit{x}}_2+\dots +{\mathit{a}}_{1\mathit{n}}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}& =& {\mathit{c}}_1,\\ {\mathit{a}}_{21}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{22}{\mathit{x}}_2+\dots +{\mathit{a}}_{2\mathit{n}}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}& =& {\mathit{c}}_2,\\ ⋮& \hspace{1em}& ⋮\\ {\mathit{a}}_{\mathit{m}1}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{\mathit{m}2}{\mathit{x}}_2+\dots +{\mathit{a}}_{\mathit{m}\mathit{n}}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}& =& {\mathit{c}}_{\mathit{m}}.\end{array}$$

Die wichtigsten Merkmale des Systems sind:

• die Anzahl $\mathit{n}$ der Unbekannten ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}$ im Vergleich zu der Anzahl $\mathit{m}$ von simultanen Gleichungen:
  • $\mathit{m}=\mathit{n}$: quadratisches Gleichungssystem
  • $\mathit{m}>\mathit{n}$: überbestimmtes Gleichungssystem
  • $\mathit{m}<\mathit{n}$: unterbestimmtes Gleichungssystem
• ob mindestens ein Absolutglied ${\mathit{c}}_{\mathit{i}}$ von null verschieden ist:
  • $\mathit{c}=\mathit{0}$: homogenes Gleichungssystem
  • $\mathit{c}\ne \mathit{0}$: inhomogenes Gleichungssystem

Beispiel

Beispiel eines unterbestimmten inhomogenen linearen Gleichungssystems:

$$\begin{array}{ccc}1{\mathit{x}}_1-1{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_3& =& -4,\\ 0{\mathit{x}}_1-1{\mathit{x}}_2+6{\mathit{x}}_3& =& 0.\end{array}$$