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Lösung linearer Gleichungssysteme

Allgemeine Betrachtungen

Wir betrachten ein System von m linearen Gleichungen in n Unbekannten - kurz als lineares ( m , n ) -System bezeichnet:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = c 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = c 2 , a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + + a m n x n = c m .

Die wichtigsten Merkmale des Systems sind:

  • die Anzahl n der Unbekannten x i im Vergleich zu der Anzahl m von simultanen Gleichungen:
    • m = n : quadratisches Gleichungssystem
    • m > n : überbestimmtes Gleichungssystem
    • m < n : unterbestimmtes Gleichungssystem
  • ob mindestens ein Absolutglied c i von null verschieden ist:
    • c = 0 : homogenes Gleichungssystem
    • c 0 : inhomogenes Gleichungssystem
Beispiel

Beispiel eines unterbestimmten inhomogenen linearen Gleichungssystems:

1 x 1 - 1 x 2 + 2 x 3 = -4 , 0 x 1 - 1 x 2 + 6 x 3 = 0.

Inhomogenes System

Für ein inhomogenes lineares ( m , n ) -System A x = c ist eine Lösung nicht immer angebbar. Man kann das Lösungsverhalten folgendermaßen klassifizieren:

  • unterbestimmt: m < n
    • unbestimmt: unendlich viele Lösungen
    • nicht lösbar: keine Lösung
  • quadratisch: m = n
    • eindeutig bestimmt: genau eine Lösung
    • unbestimmt: unendlich viele Lösungen
    • nicht lösbar: keine Lösung
  • überbestimmt: m > n
    • eindeutig bestimmt: genau eine Lösung
    • nicht lösbar: keine Lösung

Homogenes System

Ein homogenes lineares ( m , n ) -System A x = 0 ist stets lösbar, d.h. die triviale Lösung x = 0 ist immer angebbar. Sonst ist eine eindeutige Lösung außer der trivialen nicht mehr möglich. Sie enthält immer eine oder mehrere frei wählbare Konstanten. Das Lösungsverhalten lässt sich folgendermaßen klassifizieren:

  • unterbestimmt: m < n
    • triviale Lösung: x = 0
    • unbestimmt: unendlich viele Lösungen
  • quadratisch: m = n
    • triviale Lösung: x = 0
    • unbestimmt: unendlich viele Lösungen
  • überbestimmt: m > n
    • triviale Lösung: x = 0
    • unbestimmt: unendlich viele Lösungen

Lösungsmethoden

Die Lösung eines linearen ( m , n ) -Systems erfolgt im Allgemeinen durch sukzessive Eliminierung der Unbekannten. Es handelt sich um das so genannte Gauß´sche Eliminationsverfahren, bei dem das Konzept von elementaren Zeilenumformungen eine wesentliche Rolle spielt. In Sonderfällen, z.B. bei Vorliegen eines inhomogenen quadratischen Systems (das stets eine eindeutige Lösung hat) ist die Cramer´sche Regel oder die inverse Matrix anwendbar.

Bei überbestimmten Systemen ist i. Allg. eine eindeutige Lösung nicht angebbar. Stattdessen lässt sich eine annähernde Lösung finden, z.B. mittels der Methode der kleinsten Quadrate.

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