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Geometrische Deutung linearer Gleichungssysteme

Inhomogene Gleichungssysteme

Im Gleichungssystem

( 1a ) a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 ( 1b ) a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2

können die beiden Gleichungen ( 1a ) und ( 1b ) als Geradengleichungen y = m x + b ,

( 2 a ) x 2 = - a 11 a 12 x 1 + c 1 a 12 ( 2 b ) x 2 = - a 21 a 22 x 1 + c 2 a 22

in einem x 2 x 1 -Koordinatensystem aufgefasst werden. Drei Fälle sind hier denkbar:

Fall A: eindeutige Lösung

Abb.1
Eindeutige Lösung

3 x 1 + 2 x 2 = 7 x 2 = - 1,5 x 1 + 3,5 -8 x 1 + x 2 = - 6 x 2 = + 8 x 1 - 6.

Die Geraden schneiden sich bei x 1 = 1 und x 2 = 2 . In Vektorform lautet die Lösung

x 1 x 2 = 1 2 .

Fall B: keine Lösung

Abb.2
Keine Lösung

3 x 1 + 2 x 2 = 7 x 2 = - 1,5 x 1 + 3,5 6 x 1 + 4 x 2 = 20 x 2 = - 1,5 x 1 + 5.

Die beiden Geraden sind parallel, es existiert kein Schnittpunkt. Eine Lösung des Gleichungssystems ist nicht angebbar.

Fall C: unendlich viele Lösungen

Abb.3
Unendlich viele Lösungen

3 x 1 + 2 x 2 = 7 x 2 = - 1,5 x 1 + 3,5 4,5 x 1 + 3 x 2 = 10,5 x 2 = - 1,5 x 1 + 3,5 .

Die beiden Geraden sind voneinander linear abhängig. Als Lösung ist nun angebbar:

x 1 = α beliebig x 2 = - 1,5 α + 3,5 .

In Vektorform lautet die Lösung

x 1 x 2 = α - 1,5 α + 3,5 = α 1 - 1,5 + 0 3,5 .

Wie sind die Fälle vorab unterscheidbar? Dazu stellen wir zunächst fest, dass Fall C ein Sonderfall von Fall B ist: Zwei Geraden liegen aufeinander. In beiden Fällen sind die Steigungen gleich. Also gilt:

- a 11 a 12 = - a 21 a 22

oder

a 11 a 22 - a 12 a 21 = 0.

Die linke Seite kann als 2 × 2 Determinante geschrieben werden, d.h. es gilt die Bedingung:

det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = 0.

Es folgt: Ist die 2 × 2 Determinante eines Gleichungssystems gleich null, so kann Fall B oder C vorliegen.

Die Unterscheidung zwischen Fall B und C ist dadurch möglich, dass in Fall C Gl. ( 2 ) ein Vielfaches von Gl. ( 1 ) ist (linear abhängig), nicht aber im Falle B. Für Gleichungssysteme mit drei Unbekannten liegen im Allgemeinen drei Geraden im dreidimensionalen Raum vor. Obiges gilt entsprechend. Für Gleichungssysteme mit n Unbekannten gilt das Determinantenkriterium weiterhin, allerdings sind die Geraden nicht mehr zeichenbar.

Ist für ein gegebenes System mit n Unbekannten det A = 0 , so muss im nächsten Schritt geprüft werden, ob alle Gleichungen linear unabhängig sind. Falls ja, es existiert keine Lösung. Sind p < n Gleichungen mit p = 1 , 2 , , n -1 linear abhängig, so existieren unendlich viele Lösungen der Form

x 1 = α 1 , x p = α p , x p + 1 = f 1 ( x 1 , x 2 , , x p ) , x n = f r ( x 1 , x 2 , , x p ) ,

wobei r = n - p ist. Die Lösung enthält p = n - r beliebige Konstanten α 1 , α 2 , , α p . Die Zahl r ist gleich dem Rang der Koeffizientenmatrix A des Gleichungssystem. Der Rang ist gleich der Anzahl von linear unabhängigen Gleichungen des Systems.

Beispiel

n = 3 :

p = 1 x 1 = α x 2 = f 1 x 1 x 3 = f 2 x 1 p = 2 x 1 = α 1 x 2 = α 2 x 3 = f x 1 , x 2
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