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Geometrische Deutung linearer Gleichungssysteme

Geometrische Deutung linearer Gleichungssysteme II

Wir betrachten ein inhomogenes quadratisches lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 oder A x = c .

Das System drückt eine lineare Abhängigkeit zwischen den beiden Spalten der Matrix A (die man als Vektoren a 1 = a 11 a 21 und a 2 = a 12 a 22 betrachten kann) und dem Vektor der Absolutglieder c = c 1 c 2 aus:

x 1 a 1 + x 2 a 2 = c .

Aus Gleichung ersieht man, dass eine Lösung von nur möglich ist, wenn c sich als Linearkombination von a 1 und a 2 schreiben lässt (d.h. zum Spaltenraum von A gehört). Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

  • a 1 und a 2 sind linear unabhängig. In diesem Fall bilden a 1 und a 2 die Basis eines zweidimensionalen Vektorraums. Ein beliebiger zweidimensionaler Vektor c lässt sich damit als Linearkombination von a 1 und a 2 schreiben: c = α a 1 + β a 2. Die Koeffizienten x 1 = α und x 2 = β stellen die Lösung von dar.
  • a 1 und a 2 sind linear abhängig. In diesem Fall ist a 2 = α a 1 , womit die Spalten von A einen eindimensionalen Vektorraum bilden. Nur ein zu a 1 parallel liegender Vektor c kann genügen. Sonst hat keine Lösung.

Das Gleichungssystem stellt eine lineare Transformation dar. Der Vektor x = x 1 x 2 wird in den Vektor A x mittels der Matrix A transformiert. Man sieht, dass A x eine Linearkombination der Spaltenvektoren von A ist:

A x = x 1 a 1 + x 2 a 2 .

Aus folgendem Applet entnimmt man die Beziehungen zwischen den Vektoren a 1 , a 2 , A x , c und x .

Abb.1
Geometrische Deutung
Beispiel

Gegeben sei das System

2 x 1 + 4 x 2 = 2 3 x 1 + 1 x 2 = 2 .

Die Spaltenvektoren a 1 = 2 3 und a 2 = 4 1 der Koeffizientenmatrix A sind linear unabhängig. Das System ist damit eindeutig lösbar. Laut der Cramer´schen Regel ist

x 1 = 2 4 2 1 2 4 3 1 = -6 -10 = 0,6

und

x 2 = 2 2 3 2 2 4 3 1 = -2 -10 = 0,2 .

Lautet das zu lösende System dagegen

2 x 1 + 4 x 2 = 2 1 x 1 + 2 x 2 = 2 ,

dann sind die Spaltenvektoren a 1 = 2 1 und a 2 = 4 2 linear abhängig, da a 2 = 2 a 1 ist. Da c α a 1 kann unmöglich gelöst werden.

Für das System

2 x 1 + 4 x 2 = 6 1 x 1 + 2 x 2 = 3

ist c = 3 a 1 = 1,5 a 2 . ist damit lösbar. Die zweite Zeile von ist ein Vielfaches von der ersten Zeile. Setzt man x 1 = α , α beliebig, dann erhält man

x 1 = α , x 2 = 1 2 ( 3 - α ) .

Dies bedeutet, dass unendlich viele Lösungen hat.

Das homogene System

2 x 1 + 4 x 2 = 0 3 x 1 + 1 x 2 = 0

hat außer der trivialen Lösung x 1 = x 2 = 0 keine Lösung, da die lineare Unabhängigkeit der Spaltenvektoren a 1 = 2 3 und a 2 = 4 1 ausdrückt, d.h.

α a 1 + β a 2 = 0

gilt nur für α = β = 0 .

Das System

2 x 1 + 4 x 2 = 0 1 x 1 + 2 x 2 = 0

ist dagegen wegen der linearen Abhängigkeit der Spaltenvektoren a 1 = 2 3 und a 2 = 4 2 lösbar. Setzt man x 1 = α , α beliebig, dann erhält man

x 1 = α , x 2 = - 1 2 α .

hat damit unendlich viele Lösungen.

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