Herleitung der Cramer´schen Regel

Um bei kompakter Notierung dennoch nicht die Übersicht zu verlieren, sind die folgenden (alternativen) Schreibweisen üblich. Der Matrix $\mathit{A}$ zugeordnet ist die Koeffizientendeterminante

$$\mathit{D}=|\mathit{A}|=\text{det}\mathit{A}=\text{det}\left({\mathit{a}}_1,\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{k}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\right).$$

Hierbei ist ${\mathit{a}}_{\mathit{k}}$ der $\mathit{k}$-te Spaltenvektor der Matrix $\mathit{A}$. Multiplizieren wir in $|\mathit{A}|$ den $\mathit{k}$-ten Spaltenvektor mit ${\mathit{x}}_{\mathit{k}}$, so entsteht eine neue Determinante (siehe Rechenregeln (1))

$${\mathit{x}}_{\mathit{k}}\mathit{D}=\text{det}\left({\mathit{a}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_{\mathit{k}}{\mathit{a}}_{\mathit{k}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\right).$$

Dann addieren wir für jedes $\mathit{j}\ne \mathit{k}$  ${\mathit{x}}_{\mathit{j}}{\mathit{a}}_{\mathit{j}}$ zum $\mathit{k}$-ten Spaltenvektor der Matrix $\mathit{A}$. Dies ändert den Determinantenwert nicht (siehe Rechenregeln (3))

$${\mathit{x}}_{\mathit{k}}\mathit{D}=\text{det}\left({\mathit{a}}_1,\dots ,{\mathit{x}}_1{\mathit{a}}_1+{\mathit{x}}_2{\mathit{a}}_2+\dots +{\mathit{x}}_{\mathit{n}}{\mathit{a}}_{\mathit{n}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\right).$$

Aber ${\mathit{x}}_1{\mathit{a}}_1+{\mathit{x}}_2{\mathit{a}}_2+\dots +{\mathit{x}}_{\mathit{n}}{\mathit{a}}_{\mathit{n}}=\mathit{c}$, wenn $\mathit{x}$ eine Lösung von $\mathit{A}\mathit{x}=\mathit{c}$ ist

$${\mathit{x}}_{\mathit{k}}\mathit{D}=\text{det}\left({\mathit{a}}_1,\dots ,\mathit{c},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\right)={\mathit{D}}_{\mathit{k}}.$$

Es gilt dann für die $\mathit{k}$ -te Unbekannte:

$${\mathit{x}}_{\mathit{k}}=\frac{{\mathit{D}}_{\mathit{k}}}{\mathit{D}}=\frac{\text{det}\left({\mathit{a}}_1,\dots ,\mathit{c},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\right)}{\text{det}\left({\mathit{a}}_1,{\mathit{a}}_2,\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\right)}.$$

Es ist sofort einzusehen, dass die Formel nur anwendbar ist, wenn $|\mathit{A}|\ne 0$ gilt! Diese Lösungsmethode wird als Cramer´sche Regel bezeichnet.