Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit n Variablen und Determinante n-ter Ordnung
Herleitung der Cramer´schen Regel
Um bei kompakter Notierung dennoch nicht die Übersicht zu verlieren, sind die folgenden (alternativen) Schreibweisen üblich. Der Matrix zugeordnet ist die Koeffizientendeterminante
Hierbei ist der -te Spaltenvektor der Matrix . Multiplizieren wir in den -ten Spaltenvektor mit , so entsteht eine neue Determinante (siehe Rechenregeln (1))
Dann addieren wir für jedes zum -ten Spaltenvektor der Matrix . Dies ändert den Determinantenwert nicht (siehe Rechenregeln (3))
Aber , wenn eine Lösung von ist
Es gilt dann für die -te Unbekannte:
Es ist sofort einzusehen, dass die Formel nur anwendbar ist, wenn gilt! Diese Lösungsmethode wird als Cramer´sche Regel bezeichnet.