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Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit n Variablen und Determinante n-ter Ordnung

Herleitung der Cramer´schen Regel

Um bei kompakter Notierung dennoch nicht die Übersicht zu verlieren, sind die folgenden (alternativen) Schreibweisen üblich. Der Matrix A zugeordnet ist die Koeffizientendeterminante

D = | A | = det A = det a 1 , , a k , , a n .

Hierbei ist a k der k -te Spaltenvektor der Matrix A . Multiplizieren wir in | A | den k -ten Spaltenvektor mit x k , so entsteht eine neue Determinante (siehe Rechenregeln (1))

x k D = det a 1 , , x k a k , , a n .

Dann addieren wir für jedes j k   x j a j zum k -ten Spaltenvektor der Matrix A . Dies ändert den Determinantenwert nicht (siehe Rechenregeln (3))

x k D = det a 1 , , x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n , , a n .

Aber x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n = c , wenn x eine Lösung von A x = c ist

x k D = det a 1 , , c , , a n = D k .

Es gilt dann für die k -te Unbekannte:

x k = D k D = det a 1 , , c , , a n det a 1 , a 2 , , a n .

Es ist sofort einzusehen, dass die Formel nur anwendbar ist, wenn | A | 0 gilt! Diese Lösungsmethode wird als Cramer´sche Regel bezeichnet.

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