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Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit n Variablen und Determinante n-ter Ordnung

Rechenregeln für Determinanten

Bei der Berechnung von Determinanten höherer Ordnung ( n > 3 ) ist der Rechenaufwand groß. Man sucht nach der Zeile oder Spalte, die die meisten Nullen enthält, und entwickelt nach dieser Zeile oder Spalte.

Eine Determinante lässt sich nach bestimmten Regeln so umformen, dass in einer Zeile oder Spalte nur ein einziges von null verschiedenes Element steht, ohne den Wert der Determinante zu verändern. Jede Determinante kann mit diesen elementaren Umformungen in eine Dreiecksform gebracht werden. Ihr Wert ist dann das Produkt der Hauptdiagonalelemente:

a b c d e 0 f g h i 0 0 j k l 0 0 0 m n 0 0 0 0 p = a f j m p .

Elementare Umformungen einer Determinante

  1. Ein gemeinsamer Faktor in einer Zeile oder Spalte kann vor die Determinante geschrieben oder umgekehrt ein vor D stehender Faktor mit einer beliebigen Zeile oder Spalte multipliziert werden: α a o u α b p v α c q w = α a o u b p v c q w = a o u α b α p α v c q w . Man beachte, dass für eine Determinante n -ter Ordnung gilt: | α A | = α n | A | .
  2. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn die Zeilen in Spalten überführt werden (= Spiegeln an der Hauptdiagonalen; Stürzen): a o u b p v c q w = a b c o p q u v w .
  3. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn das Vielfache einer Zeile (Spalte) zu/von einer anderen Zeile (Spalte) addiert/subtrahiert wird: a o u b p v c q w = a o + α a u b p + α b v c q + α c w = a + β b o + β p u + β v b p v c q w .
  4. Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen oder Spalten vertauscht werden: a o u b p v c q w = - b p v a o u c q w .
  5. Eine Determinante hat den Wert 0 , wenn in einer Zeile oder Spalte alle Elemente gleich 0 sind: 0 0 0 b p v c q w = a b 0 o p 0 u v 0 = 0.
  6. Eine Determinante hat den Wert 0 , wenn zwei Zeilen oder Spalten gleich sind (Regel 3 und 5): a o u b p v b p v = 0.
  7. Das Produkt zweier Determinanten | A | | B | ist gleich | A B | , d.h. der Determinante des Matrixproduktes A B .
  8. Die Determinanten einer Matrix und der Transponierten der Matrix sind gleich: | A | = | A T | .
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