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Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit n Variablen und Determinante n-ter Ordnung

Unterdeterminante und Adjunkte: Laplace´scher Entwicklungssatz

Die Berechnung einer Determinante n -ter Ordnung erfolgt durch sukzessive Reduktion auf Determinanten niedrigerer Ordnung. Hierfür ist es zweckmäßig, zunächst zwei Begriffe zu definieren:

Unterdeterminante
Die Unterdeterminante D i k zu einem Element a i k einer gegebenen Determinante erhält man, indem die i -te Zeile und die k -te Spalte gestrichen werden.
Abb.1
Unterdeterminante

Die Unterdeterminante zu einem Element einer n -reihigen Determinante ist eine ( n -1 ) -reihige Determinante.

Adjunkte
Die Adjunkte (auch algebraisches Komplement genannt) zu einem Element a i k einer gegebenen Determinante ist gleich dem Produkt aus Unterdeterminante zu a i k und Faktor ( -1 ) i + k . Das Symbol für die Adjunkte von a i k ist A i k oder auch a i k :
A i k = ( -1 ) i + k D i k .
Beispiel
D = 1 3 3 -1 0 2 4 -1 7

Die Unterdeterminante D 12 zum Element a 12 von D ist

D 12 = -1 2 4 7 = -1 × 7 - 4 × 2 = -7 - 8 = -15.
Abb.2
Unterdeterminante D 12 : Zeile 1 und Spalte 2 gestrichen

Die entsprechende Adjunkte A 12 ist

A 12 = ( -1 ) 1 +2 D 12 = -1 × -15 = 15.

Die Definitionsgleichung für die Determinante 3 . Ordnung schreibt sich mit Adjunkten wie folgt:

D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 - a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 31 a 12 a 13 a 22 a 23 = a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 .

In der Summe treten nur die Unterdeterminanten bzw. Adjunkten der ersten Spalte auf.

Wir können also den Wert der Determinanten 3 . Ordnung explizit berechnen, indem wir eine Entwicklung in eine Summe von drei Unterdeterminanten 2 . Ordnung, jede multipliziert mit dem entsprechenden Element a i k und Vorzeichenfaktor ( -1 ) i + k vornehmen. Es zeigt sich, dass nach jeder beliebigen Spalte oder Zeile entwickelt werden kann und immer der gleiche Wert herauskommt.

Die Entwicklung einer n -reihigen Determinante erfolgt ähnlich:

Theorem
Die Determinante n -ter Ordnung ist gleich der Summe aller n Adjunkten ( n -1 ) -ter Ordnung einer Zeile i oder Spalte k (d.h. Unterdeterminanten ( n -1 ) -Ordnung) multipliziert mit ihrem jeweiligen Element a i k und Vorzeichenfaktor ( -1 ) i + k :
D = i = 1 n a i k A i k ( k = 1 , 2 , , n ) Entwicklung nach Spalte k
D = k = 1 n a i k A i k ( i = 1 , 2 , , n ) Entwicklung nach Zeile i .
Hinweis
Der Wert einer Determinante ist unabhängig von der Auswahl der Entwicklungsziele oder -spalte.

Durch wiederholte Anwendung des Laplace´schen Entwicklungssatzes lässt sich eine n -reihige Determinante auf 3 -reihige Determinanten zurückführen, deren Wert nach der Regel von Sarrus bestimmt werden kann. Entwickelt man eine n -reihige Determinante, so erhält man

n ( n -1 ) 4 = n ! 3 !

3 -reihige Determinanten. Für n = 6 sind das bereits 120 3 -reihige Determinanten!

Hinweis
In der Praxis entwickelt man immer nach derjenigen Zeile oder Spalte, die die meisten Nullen enthält, da diese Elemente keinen Beitrag zum Determinantenwert leisten.
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