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Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit n Variablen und Determinante n-ter Ordnung

Inhomogene Gleichungen mit n Unbekannten: Cramer´sche Regel

Im allgemeinen Fall betrachten wir ein lineares inhomogenes Gleichungssystem mit n Unbekannten:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = c 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = c 2 , a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + + a n n x n = c n .

Analog den Fällen inhomogener Gleichungen mit 2 oder 3 Unbekannten lassen sich die Lösungen eindeutig in Form von n -reihigen Determinanten angeben.

Theorem
x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , , x n = D n D .

Im Nenner dieser Ausdrücke steht die Koeffizientendeterminante D der Unbekannten

D = a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n .

In den Zählern dieser Ausdrücke stehen die Hilfsdeterminanten D i , i = 1 , 2 , , n . Dabei bildet man D i , indem man die i -te Spalte von D durch die Absolutglieder c 1 , c 2 , , c n ersetzt:

D 1 = c 1 a 12 a 13 a 1 n c 2 a 22 a 23 a 2 n c n a n 2 a n 3 a n n , D 2 = a 11 c 1 a 13 a 1 n a 21 c 2 a 23 a 2 n a n 1 c n a n 3 a n n , D n = a 11 a 12 a 1 n -1 c 1 a 21 a 22 a 2 n -1 c 2 a n 1 a n 2 a n n -1 c n .
Hinweis
Wenn D = 0 ist, lässt sich das System nicht durch die Cramer´sche Regel lösen. Das System hat dann entweder keine Lösung (mindestens eine Hilfsdeterminante ist nicht gleich null: D i 0 für i { 1 , 2 , , n } ) oder unendlich viele Lösungen (alle Hilfsdeterminanten sind gleich null: D i = 0 , i = 1 , 2 , , n ).

Die Berechnung einer Determinante n -ter Ordnung erfolgt durch sukzessive Reduktion auf Determinanten niedrigerer Ordnung mittels des Laplace´schen Entwicklungssatzes.

Hinweis
Für Systeme mit n > 3 ist der Rechenaufwand erheblich. Das Gauß´sche Eliminationsverfahren stellt eine bessere Alternative dar.
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