Inhomogene Gleichungen mit drei Unbekannten: Determinanten 3. Ordnung

Das allgemeine lineare inhomogene Gleichungssystem für drei Unbekannten lautet:

$$\begin{array}{lrcl}(1)& {\mathit{a}}_{11}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{12}{\mathit{x}}_2+{\mathit{a}}_{13}{\mathit{x}}_3& =& {\mathit{c}}_1\\ (2)& {\mathit{a}}_{21}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{22}{\mathit{x}}_2+{\mathit{a}}_{23}{\mathit{x}}_3& =& {\mathit{c}}_2\\ (3)& {\mathit{a}}_{31}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{32}{\mathit{x}}_2+{\mathit{a}}_{33}{\mathit{x}}_3& =& {\mathit{c}}_{3.}\end{array}$$

Um nach ${\mathit{x}}_1$ zu lösen, multiplizieren wir

$$\begin{array}{lrcr}\text{Gleichung (1) mit}& {\mathit{a}}_{22}{\mathit{a}}_{33}-{\mathit{a}}_{23}{\mathit{a}}_{32}& =& \left|\begin{array}{rr}{\mathit{a}}_{22}& {\mathit{a}}_{23}\\ {\mathit{a}}_{32}& {\mathit{a}}_{33}\end{array}\right|,\\ \text{Gleichung (2) mit}& -\left({\mathit{a}}_{12}{\mathit{a}}_{33}-{\mathit{a}}_{13}{\mathit{a}}_{32}\right)& =& -\left|\begin{array}{rr}{\mathit{a}}_{12}& {\mathit{a}}_{13}\\ {\mathit{a}}_{32}& {\mathit{a}}_{33}\end{array}\right|,\\ \text{Gleichung (3) mit}& {\mathit{a}}_{12}{\mathit{a}}_{23}-{\mathit{a}}_{13}{\mathit{a}}_{22}& =& \left|\begin{array}{rr}{\mathit{a}}_{12}& {\mathit{a}}_{13}\\ {\mathit{a}}_{22}& {\mathit{a}}_{23}\end{array}\right|\end{array}$$

und addieren die so erhaltenen Gleichungen $(1\text{'})-(3\text{'})$. Die resultierende Gleichung enthält auf der linken Seite nur noch die Unbekannte ${\mathit{x}}_1$, und zwar mit dem Koeffizienten

$$\begin{array}{rcl}\mathit{D}& =& {\mathit{a}}_{11}\left|\begin{array}{rr}{\mathit{a}}_{22}& {\mathit{a}}_{23}\\ {\mathit{a}}_{32}& {\mathit{a}}_{33}\end{array}\right|-{\mathit{a}}_{21}\left|\begin{array}{rr}{\mathit{a}}_{12}& {\mathit{a}}_{13}\\ {\mathit{a}}_{32}& {\mathit{a}}_{33}\end{array}\right|+{\mathit{a}}_{31}\left|\begin{array}{rr}{\mathit{a}}_{12}& {\mathit{a}}_{13}\\ {\mathit{a}}_{22}& {\mathit{a}}_{23}\end{array}\right|\\ & =& {\mathit{a}}_{11}{\mathit{a}}_{22}{\mathit{a}}_{33}+{\mathit{a}}_{21}{\mathit{a}}_{13}{\mathit{a}}_{32}+{\mathit{a}}_{31}{\mathit{a}}_{12}{\mathit{a}}_{23}-{\mathit{a}}_{11}{\mathit{a}}_{23}{\mathit{a}}_{32}-{\mathit{a}}_{21}{\mathit{a}}_{12}{\mathit{a}}_{33}-{\mathit{a}}_{31}{\mathit{a}}_{13}{\mathit{a}}_{22}.\end{array}$$

Wir verwenden diese Gleichung zur Definition einer Determinante 3. Ordnung:

Determinante dritter Ordnung

Die $3\times 3$ Zahlenanordnung

$$\left|\begin{array}{rrr}{\mathit{a}}_{11}& {\mathit{a}}_{12}& {\mathit{a}}_{13}\\ {\mathit{a}}_{21}& {\mathit{a}}_{22}& {\mathit{a}}_{23}\\ {\mathit{a}}_{31}& {\mathit{a}}_{32}& {\mathit{a}}_{33}\end{array}\right|={\mathit{a}}_{11}{\mathit{a}}_{22}{\mathit{a}}_{33}+{\mathit{a}}_{21}{\mathit{a}}_{13}{\mathit{a}}_{32}+{\mathit{a}}_{31}{\mathit{a}}_{12}{\mathit{a}}_{23}-{\mathit{a}}_{11}{\mathit{a}}_{23}{\mathit{a}}_{32}-{\mathit{a}}_{21}{\mathit{a}}_{12}{\mathit{a}}_{33}-{\mathit{a}}_{31}{\mathit{a}}_{13}{\mathit{a}}_{22}$$

wird als Determinante der Ordnung 3 bezeichnet.

Mit dieser Definition lässt sich die Lösung des Gleichungssystems wieder in der einfachen Form angeben, die wir bei zwei Unbekannten eingeführt haben:

$${\mathit{x}}_1=\frac{{\mathit{D}}_1}{\mathit{D}},{\mathit{x}}_2=\frac{{\mathit{D}}_2}{\mathit{D}},{\mathit{x}}_3=\frac{{\mathit{D}}_3}{\mathit{D}}.$$

$${\mathit{D}}_1=\left|\begin{array}{rrr}{\mathit{c}}_1& {\mathit{a}}_{12}& {\mathit{a}}_{13}\\ {\mathit{c}}_2& {\mathit{a}}_{22}& {\mathit{a}}_{23}\\ {\mathit{c}}_3& {\mathit{a}}_{32}& {\mathit{a}}_{33}\end{array}\right|,{\mathit{D}}_2=\left|\begin{array}{rrr}{\mathit{a}}_{11}& {\mathit{c}}_1& {\mathit{a}}_{13}\\ {\mathit{a}}_{21}& {\mathit{c}}_2& {\mathit{a}}_{23}\\ {\mathit{c}}_{31}& {\mathit{c}}_3& {\mathit{a}}_{33}\end{array}\right|,{\mathit{D}}_3=\left|\begin{array}{rrr}{\mathit{a}}_{11}& {\mathit{a}}_{12}& {\mathit{c}}_1\\ {\mathit{a}}_{21}& {\mathit{a}}_{22}& {\mathit{c}}_2\\ {\mathit{a}}_{31}& {\mathit{a}}_{32}& {\mathit{c}}_3\end{array}\right|.$$

Dies ist die Cramer´sche Regel für inhomogene quadratische lineare Gleichungen mit drei Unbekannten.

Hinweis

In den Lösungsgleichungen für die Unbekannten steht die Koeffizientendeterminante $\mathit{D}$ im Nenner. Damit das Gleichungssystem tatsächlich lösbar ist, muss wie im Fall von zwei Unbekannten auch hier die Voraussetzung erfüllt sein, dass $\mathit{D}$ nicht null ist.

Um die Berechnung einer Determinante 3. Ordnung zu erleichtern, steht die Regel von Sarrus zur Verfügung.