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Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit zwei und drei Variablen

Inhomogene Gleichungen mit drei Unbekannten: Determinanten 3. Ordnung

Das allgemeine lineare inhomogene Gleichungssystem für drei Unbekannten lautet:

( 1 ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = c 1 ( 2 ) a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = c 2 ( 3 ) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = c 3.

Um nach x 1 zu lösen, multiplizieren wir

Gleichung (1) mit a 22 a 33 - a 23 a 32 = a 22 a 23 a 32 a 33 , Gleichung (2) mit - a 12 a 33 - a 13 a 32 = - a 12 a 13 a 32 a 33 , Gleichung (3) mit a 12 a 23 - a 13 a 22 = a 12 a 13 a 22 a 23

und addieren die so erhaltenen Gleichungen ( 1 ' ) - ( 3 ' ) . Die resultierende Gleichung enthält auf der linken Seite nur noch die Unbekannte x 1 , und zwar mit dem Koeffizienten

D = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 - a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 31 a 12 a 13 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 13 a 32 + a 31 a 12 a 23 - a 11 a 23 a 32 - a 21 a 12 a 33 - a 31 a 13 a 22 .

Wir verwenden diese Gleichung zur Definition einer Determinante 3. Ordnung:

Determinante dritter Ordnung
Die 3 × 3 Zahlenanordnung
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 13 a 32 + a 31 a 12 a 23 - a 11 a 23 a 32 - a 21 a 12 a 33 - a 31 a 13 a 22
wird als Determinante der Ordnung 3 bezeichnet.

Mit dieser Definition lässt sich die Lösung des Gleichungssystems wieder in der einfachen Form angeben, die wir bei zwei Unbekannten eingeführt haben:

x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , x 3 = D 3 D .
D 1 = c 1 a 12 a 13 c 2 a 22 a 23 c 3 a 32 a 33 , D 2 = a 11 c 1 a 13 a 21 c 2 a 23 c 31 c 3 a 33 , D 3 = a 11 a 12 c 1 a 21 a 22 c 2 a 31 a 32 c 3 .

Dies ist die Cramer´sche Regel für inhomogene quadratische lineare Gleichungen mit drei Unbekannten.

Hinweis
In den Lösungsgleichungen für die Unbekannten steht die Koeffizientendeterminante D im Nenner. Damit das Gleichungssystem tatsächlich lösbar ist, muss wie im Fall von zwei Unbekannten auch hier die Voraussetzung erfüllt sein, dass D nicht null ist.

Um die Berechnung einer Determinante 3. Ordnung zu erleichtern, steht die Regel von Sarrus zur Verfügung.

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