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Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit zwei und drei Variablen

Inhomogene Gleichungen mit zwei Unbekannten: Determinanten 2. Ordnung

Das einfachste lineare inhomogene Gleichungssystem hat die allgemeine Form

( 1 ) a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 ( 2 ) a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2.

Unbekannt sind x 1 und x 2 , bekannt die Koeffizientenwerte a i k und die rechten Seiten c i .

Um nach x 1 zu lösen, multiplizieren wir zuerst Gleichung ( 1 ) mit a 22 und Gleichung ( 2 ) mit a 12 :

( 1 ' ) a 22 a 11 x 1 + a 22 a 12 x 2 = a 22 c 1 ( 2 ' ) a 12 a 21 x 1 + a 12 a 22 x 2 = a 12 c 2.

Subtrahiert man ( 2 ' ) von ( 1 ' ) , so ergibt sich

a 11 a 22 - a 12 a 21 x 1 = a 22 c 1 - a 12 c 2.

Entsprechend entsteht für x 2

a 11 a 22 - a 12 a 21 x 2 = a 11 c 2 - a 21 c 1.

Wenn der Klammerausdruck ( a 11 a 22 - a 12 a 21 ) nicht null ist, ergibt sich für die beiden Unbekannten die allgemeine Lösung

x 1 = a 22 c 1 - a 12 c 2 a 11 a 22 - a 12 a 21 , x 2 = a 11 c 2 - a 21 c 1 a 11 a 22 - a 12 a 21 .

Der Ausdruck im Nenner ist allein von den Koeffizienten der Unbekannten abhängig. Weiter zeigen die Lösungen eine charakteristische Struktur, die durch Einführung folgender Definition deutlich wird:

Determinante zweiter Ordnung
Die 2 × 2 Zahlenanordnung
a b c d = a d - c b
wird als Determinante der Ordnung 2 bezeichnet.

Determinanten n -ter Ordnung treten bei Gleichungssystemen mit n Unbekannten auf. In der Determinantenschreibweise lauten die obigen Lösungen

x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D ,

mit

D = a 11 a 12 a 21 a 22 D 1 = c 1 a 12 c 2 a 22 D 2 = a 11 c 1 a 21 c 2 .

Dies ist die Cramer´sche Regel für inhomogene quadratische lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Hinweis
In den Lösungsgleichungen für die Unbekannten steht die Koeffizientendeterminante D im Nenner. Damit das Gleichungssystem tatsächlich lösbar ist, muss die Voraussetzung erfüllt sein, dass D nicht null ist.
Beispiel
2 x - 3 y = 5 x + 5 y = 9.

Die Determinanten sind:

D = 2 -3 1 5 = 2 × 5 - 1 × ( -3 ) = 10 + 3 = 13 D 1 = 5 -3 9 5 = 5 × 5 - 9 × ( -3 ) = 25 + 27 = 52 D 2 = 2 5 1 9 = 2 × 9 - 1 × 5 = 18 - 5 = 13.

Es folgt:

x = D 1 D = 52 13 = 4 y = D 2 D = 13 13 = 1 .
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