Inhomogene Gleichungen mit zwei Unbekannten: Determinanten 2. Ordnung

Das einfachste lineare inhomogene Gleichungssystem hat die allgemeine Form

$$\begin{array}{lrcl}(1)& {\mathit{a}}_{11}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{12}{\mathit{x}}_2& =& {\mathit{c}}_1\\ (2)& {\mathit{a}}_{21}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{22}{\mathit{x}}_2& =& {\mathit{c}}_{2.}\end{array}$$

Unbekannt sind ${\mathit{x}}_1$ und ${\mathit{x}}_2$, bekannt die Koeffizientenwerte ${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{k}}$ und die rechten Seiten ${\mathit{c}}_{\mathit{i}}$.

Um nach ${\mathit{x}}_1$ zu lösen, multiplizieren wir zuerst Gleichung $(1)$ mit ${\mathit{a}}_{22}$ und Gleichung $(2)$ mit ${\mathit{a}}_{12}$:

$$\begin{array}{lrcl}(1\text{'})& {\mathit{a}}_{22}\cdot {\mathit{a}}_{11}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{22}\cdot {\mathit{a}}_{12}{\mathit{x}}_2& =& {\mathit{a}}_{22}\cdot {\mathit{c}}_1\\ (2\text{'})& {\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{a}}_{21}{\mathit{x}}_1+{\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{a}}_{22}{\mathit{x}}_2& =& {\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{c}}_{2.}\end{array}$$

Subtrahiert man $(2\text{'})$ von $(1\text{'})$, so ergibt sich

$$\left({\mathit{a}}_{11}\cdot {\mathit{a}}_{22}-{\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{a}}_{21}\right)\cdot {\mathit{x}}_1={\mathit{a}}_{22}\cdot {\mathit{c}}_1-{\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{c}}_{2.}$$

Entsprechend entsteht für ${\mathit{x}}_2$

$$\left({\mathit{a}}_{11}\cdot {\mathit{a}}_{22}-{\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{a}}_{21}\right)\cdot {\mathit{x}}_2={\mathit{a}}_{11}\cdot {\mathit{c}}_2-{\mathit{a}}_{21}\cdot {\mathit{c}}_{1.}$$

Wenn der Klammerausdruck $({\mathit{a}}_{11}\cdot {\mathit{a}}_{22}-{\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{a}}_{21})$ nicht null ist, ergibt sich für die beiden Unbekannten die allgemeine Lösung

$${\mathit{x}}_1=\frac{{\mathit{a}}_{22}\cdot {\mathit{c}}_1-{\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{c}}_2}{{\mathit{a}}_{11}\cdot {\mathit{a}}_{22}-{\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{a}}_{21}},{\mathit{x}}_2=\frac{{\mathit{a}}_{11}\cdot {\mathit{c}}_2-{\mathit{a}}_{21}\cdot {\mathit{c}}_1}{{\mathit{a}}_{11}\cdot {\mathit{a}}_{22}-{\mathit{a}}_{12}\cdot {\mathit{a}}_{21}}.$$

Der Ausdruck im Nenner ist allein von den Koeffizienten der Unbekannten abhängig. Weiter zeigen die Lösungen eine charakteristische Struktur, die durch Einführung folgender Definition deutlich wird:

Determinante zweiter Ordnung

Die $2\times 2$ Zahlenanordnung

$$\left|\begin{array}{rr}\mathit{a}& \mathit{b}\\ \mathit{c}& \mathit{d}\end{array}\right|=\mathit{a}\cdot \mathit{d}-\mathit{c}\cdot \mathit{b}$$

wird als Determinante der Ordnung 2 bezeichnet.

Determinanten $\mathit{n}$-ter Ordnung treten bei Gleichungssystemen mit $\mathit{n}$ Unbekannten auf. In der Determinantenschreibweise lauten die obigen Lösungen

$${\mathit{x}}_1=\frac{{\mathit{D}}_1}{\mathit{D}},{\mathit{x}}_2=\frac{{\mathit{D}}_2}{\mathit{D}},$$

mit

$$\mathit{D}=\left|\begin{array}{rr}{\mathit{a}}_{11}& {\mathit{a}}_{12}\\ {\mathit{a}}_{21}& {\mathit{a}}_{22}\end{array}\right|{\mathit{D}}_1=\left|\begin{array}{rr}{\mathit{c}}_1& {\mathit{a}}_{12}\\ {\mathit{c}}_2& {\mathit{a}}_{22}\end{array}\right|{\mathit{D}}_2=\left|\begin{array}{rr}{\mathit{a}}_{11}& {\mathit{c}}_1\\ {\mathit{a}}_{21}& {\mathit{c}}_2\end{array}\right|.$$

Dies ist die Cramer´sche Regel für inhomogene quadratische lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Hinweis

In den Lösungsgleichungen für die Unbekannten steht die Koeffizientendeterminante $\mathit{D}$ im Nenner. Damit das Gleichungssystem tatsächlich lösbar ist, muss die Voraussetzung erfüllt sein, dass $\mathit{D}$ nicht null ist.

Beispiel

$$\begin{array}{rcl}2\mathit{x}-3\mathit{y}& =& 5\\ \mathit{x}+5\mathit{y}& =& 9.\end{array}$$

Die Determinanten sind:

$$\begin{array}{ll}& \mathit{D}=\left|\begin{array}{rr}2& -3\\ 1& 5\end{array}\right|=2\times 5-1\times (-3)=10+3=13\\ & {\mathit{D}}_1=\left|\begin{array}{rr}5& -3\\ 9& 5\end{array}\right|=5\times 5-9\times (-3)=25+27=52\\ & {\mathit{D}}_2=\left|\begin{array}{rr}2& 5\\ 1& 9\end{array}\right|=2\times 9-1\times 5=18-5=13.\end{array}$$

Es folgt:

$$\begin{array}{ccccccc}\mathit{x}& =& \frac{{\mathit{D}}_1}{\mathit{D}}& =& \frac{52}{13}& =& 4\\ \mathit{y}& =& \frac{{\mathit{D}}_2}{\mathit{D}}& =& \frac{13}{13}& =& 1\text{.}\end{array}$$