Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit zwei und drei Variablen
Inhomogene Gleichungen mit zwei Unbekannten: Determinanten 2. Ordnung
Das einfachste lineare inhomogene Gleichungssystem hat die allgemeine Form
Unbekannt sind und , bekannt die Koeffizientenwerte und die rechten Seiten .
Um nach zu lösen, multiplizieren wir zuerst Gleichung mit und Gleichung mit :
Subtrahiert man von , so ergibt sich
Entsprechend entsteht für
Wenn der Klammerausdruck nicht null ist, ergibt sich für die beiden Unbekannten die allgemeine Lösung
Der Ausdruck im Nenner ist allein von den Koeffizienten der Unbekannten abhängig. Weiter zeigen die Lösungen eine charakteristische Struktur, die durch Einführung folgender Definition deutlich wird:
- Determinante zweiter Ordnung
- Die Zahlenanordnung
- wird als Determinante der Ordnung 2 bezeichnet.
Determinanten -ter Ordnung treten bei Gleichungssystemen mit Unbekannten auf. In der Determinantenschreibweise lauten die obigen Lösungen
mit
Dies ist die Cramer´sche Regel für inhomogene quadratische lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.
- Hinweis
- In den Lösungsgleichungen für die Unbekannten steht die Koeffizientendeterminante im Nenner. Damit das Gleichungssystem tatsächlich lösbar ist, muss die Voraussetzung erfüllt sein, dass nicht null ist.
- Beispiel
Die Determinanten sind:
Es folgt: