Lineare Gleichungssysteme: Einführung

In der Physik und Chemie stößt man immer wieder auf lineare Gleichungssysteme.

Beispiel

Eine typische Aufgabe in der Chemie ist die Bestimmung der molaren Masse ${\mathit{M}}_{\text{A}}$ eines Stoffes, dessen $\mathit{p}\mathit{V}\mathit{T}$-Verhalten in der Gasphase bei Druckwerten untersucht wird, für die das ideale Gasgesetz $\mathit{p}\mathit{V}=\mathit{n}\mathit{R}\mathit{T}$ gültig ist. Im folgenden Beispiel liegt der Fall vor, dass zwar die molare Masse, nicht aber die tatsächliche Teilchenzahl in der Gasphase bekannt ist, da der Stoff Dimere bilden kann (z.B. Fluorwasserstoff $\text{H}\text{F}$).

So ergibt die Messung für eine Stoffmenge $\text{A}$ von $1\text{mol}$, dass bei der Temperatur $\mathit{T}=\frac{\mathit{a}}{\mathit{R}}$ das Produkt $\mathit{p}\mathit{V}$ den Wert $\mathrm{0,8}\mathit{a}$ hat. Wieviel Prozent von $\text{A}$ liegt als Dimer vor?

Zur Lösung der Frage müssen wir erstens beachten, dass zwei unbekannte Größen vorliegen: die Stoffmengen ${\mathit{n}}_1$ und ${\mathit{n}}_2$ in der Gasphase, die der Teilchenzahl des Monomer bzw. Dimer proportional sind (${\mathit{N}}_{\mathit{i}}={\mathit{n}}_{\mathit{i}}{\mathit{N}}_{\text{A}}$). Mit den gegebenen Daten folgt

$$\mathit{n}=\frac{\mathit{p}\mathit{V}}{\mathit{R}\mathit{T}}=\frac{\mathrm{0,8}\mathit{a}}{\mathit{R}(\mathit{a}\mathit{R})}=\mathrm{0,8}.$$

Damit ist die Gesamtstoffmenge von $\text{A}$ in der Gasphase bekannt, es gilt ${\mathit{n}}_1+{\mathit{n}}_2=\mathrm{0,8}$.

Zweitens ist die Stoffmenge von $\text{A}$ gleich $1$, wenn es nur als Monomeres vorliegt. Betrachten wir z.B. $1.000$ Teilchen $\text{A}$ und bildet sich ein Dimeres (${\mathit{N}}_1=1$), so reduziert sich die Gesamtteilchenzahl auf $999$. Entsprechend beträgt sie $950$ Teilchen (Monomer+ Dimer), wenn ${\mathit{N}}_1=100$ Teilchen $\text{A}$ dimerisieren. Allgemein muss also die Teilchenbilanz ${\mathit{N}}_1+{\mathit{N}}_2=1.000$ gelten. Entsprechendes gilt für die Stoffmengen ${\mathit{n}}_1$ und ${\mathit{n}}_2$.

Insgesamt entstehen somit zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten ${\mathit{n}}_1$ und ${\mathit{n}}_2$:

$$\begin{array}{lrcl}(1)& {\mathit{n}}_1+{\mathit{n}}_2& =& \mathrm{0,8}\\ (2)& {\mathit{n}}_1+2{\mathit{n}}_2& =& 1\text{ .}\end{array}$$

Differenzbildung Gl. $(2)$ $-$ Gl. $(1)$ ergibt ${\mathit{n}}_2=\mathrm{0,2}$. Der Dimerenanteil von Stoff $\text{A}$ beträgt also in der Gasphase $20$ Prozent.

Die beiden Gleichungen $(1)$ und $(2)$ werden als lineares inhomogenes quadratisches Gleichungssystem für zwei Unbekannte bezeichnet. Das Adjektiv linear weist darauf hin, dass die beiden Unbekannten linear, d.h. mit einer Potenz $1$, eingehen, und das Adjektiv inhomogen weist daraufhin, dass mindestens einer der Koeffizienten auf den rechten Seiten der Gleichungen $(1)$ und $(2)$ von Null verschieden ist. Das Adjektiv quadratisch bedeutet, dass die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der simultanen Gleichungen übereinstimmt.

Liegt ein lineares Gleichungssystem vor, stellt sich dabei die Frage nach der Lösbarkeit des Systems. Im Falle eines quadratischen Systems lässt sich diese Frage mit Hilfe von Determinanten beantworten. Im allgemeinen Falle liefert der Gauß´sche Algorithmus die Lösung, falls eine existiert.